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• cours - matière potentielle : geometrie arithmetique

COURS DE GEOMETRIE ARITHMETIQUE Lucien SZPIRO I – Le groupe de Picard 1 – Produit tensoriel et localisation. 2 – Schemas et schemas projectifs. 3 – Modules projectifs. 4 – Modules inversibles. 5 – Faisceaux inversibles sur les schemas. II – Anneaux de dimension un 0 – Anneaux noetheriens de dimension zero. 1 – Anneaux principaux. 2 – Elements entiers. 3 – Extensions algebriques de corps. 4 – Corps de nombres, ordre d'un corps de nombres, anneaux d'entiers algebriques.

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• longueur finie
• corps de caracteristique zero
• anneaux noetheriens de dimension zero
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Sujets

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Extrait

¶ ¶ ¶COURS DE GEOMETRIE ARITHMETIQUE
Lucien SZPIRO
I { Le groupe de Picard
1 { Produit tensoriel et localisation.
2 { Sch¶emas et sch¶emas projectifs.
3 { Modules projectifs.
4 { Modules inversibles.
5 { Faisceaux inversibles sur les sch¶emas.
II { Anneaux de dimension un
0 { Anneaux noeth¶eriens de dimension z¶ero.
1 { principaux.
2 { El¶ements entiers.
3 { Extensions alg¶ebriques de corps.
4 { Corps de nombres, ordre d’un corps de nombres, anneaux d’entiers alg¶ebriques.
5 { Anneaux de valuation discrete,? anneaux de Dedekind.
6 { L’application cycle.
7 { Div(A)!Pic(A).
8 { Points rationnels d’un sch¶ema projectif sur un anneau de Dedekind.
III { Le groupe de Picard compactifl¶e d’un ordre
d’un corps de nombres
1 { Espaces vectoriels de dimension un surC.
2 { Le groupe de Picard compactiߦe.
3 { La norme d’un id¶eal.
4 { La d’un ¶el¶ement, formule du produit.
5 { La d¶eflnition locale du degr¶e sur Pic (A).c
6 { Volume, d¶eflnition globale du degr¶e.
7 { Sections d’un module inversible compactifl¶e, th¶eoreme? de Riemann-Roch.
IV { Discriminant, diަerente, conducteur
V { Les th¶eoremes? classiques de la th¶eorie
des nombres alg¶ebriques
1 { Trois lemmes techniques.
2 { Finitude de Pic(A) et simple connexit¶e de SpecZ.
3 { Le th¶eoreme? des unit¶es de Dirichlet.
4 { Extensions a? ramiflcation donn¶ee.
VI { Hauteur des points rationnels d’un sch¶ema
sur un corps de nombres
1 { Fibr¶es inversibles m¶etris¶es sur un sch¶ema surC.
2 { Modeles? entiers des sch¶emas sur un corps.II { Anneaux de dimension un
La dimension d’un anneau est le maximum des cha^‡nes d’id¶eaux premiers contenus
l’un dans l’autre. Par exempleZ est un anneau de dimension un.
Nous explicitons dans ce chapitre les anneaux fondamentaux de la g¶eom¶etrie arithm¶e-
tique en dimension un : les anneaux d’entiers alg¶ebriques et les anneaux de fonctions
alg¶ebriques sur une courbe a–ne.
0 { Anneaux noeth¶eriens de dimension z¶ero.
Pour faciliter l’¶etude des anneaux de un nous ¶etablissons d’abord quelques
faits en dimension 0.
REMARQUE 0.1. | Soit A un anneau integre? de dimension un et soit f un ¶el¶ement
non nul de A, alors A=fA est de dimension z¶ero. En efiet les seuls id¶eaux premiers de A
sont (0) et les id¶eaux maximaux.
REMARQUE 0.2. | Soit A un anneau et soit M un A-module simple (i.e. un A-
module non nul qui ne contient pas de sous-A-module propre), alors il existe un id¶eal
maximal m de A tel que M ’A=m. En efiet si x est non nul dans M, x engendre M sur
A donc M ’A=I pour un id¶eal I¢¢¢
PROPOSITION 0.3 (th¶eor?eme de Jordan-H˜older). | Soient A un anneau et M un A-
0 0module. Soient (0) = M ‰ M ‰ ¢¢¢ ‰ M ‰ M = M et (0) = M ‰ M ‰0 1 n¡1 n 0 1
0¢¢¢‰M =M deux flltrations flnies de M telles que les quotients successifs M =M eti+1 i0
0 0M =M soient des A-modules simples. Alors n=q. De plus, il existe une permutationj+1 j
0 0? de f1;2;:::;ng telle que M =M ’M =M .i i¡1 ?(i) ?(i)¡1
Une flltration flnie (0) = M ‰ M ‰ M ‰ ¢¢¢ ‰ M = M est dite de longueur0 1 2 n
n. Nous allons montrer par r¶ecurrence sur n qu’on a q • n. Les r^oles de q et n ¶etant
les m^emes on aura ainsi la premi?ere partie de l’¶enonc¶e. Soit r le plus petit entier tel que
0M ?M . On a la flltration suivante dont au plus un des quotients successifs est nul, les1r
autres ¶etant simples :
0 0 0 0 0 0(0)=M ‰M ‰¢¢¢‰M ‰M =M ‰M =M ‰¢¢¢‰M =M =M=M :1 1 1 10 1 r¡1 r r+1 q
Le module M=M ayant une flltration a? quotients successifs simples, de longueur n¡1,1
par r¶ecurrence on a q•n¡1 ou q¡1•n¡1 en tout cas q•n.
Il nous reste a? montrer qu’ a l’ordre pres? les quotients successifs sont les m^emes. Soit
m un id¶eal maximal de A, si M est un A-module poss¶edant une flltration comme dans
l’¶enonc¶e, M est un A -module de longueur flnie. En fait la flltration (0)= M ‰¢¢¢‰m m 0
M ‰ ¢¢¢ ‰ M = M tensoris¶ee par A donne une flltration de M (I 1.7 b)). Lesi n m m
0 0quotients successifs sont nuls s’ils sont isomorphes a? A=m ou? m est un id¶eal maximal
difi¶erent de m. Les quotients successifsa? A=m=Am=mA restent inchang¶es.m
Appliquant la premiere? partie de l’¶enonc¶e au A -module M , la deuxieme? partie dem m
l’¶enonc¶e est prouv¶ee.
La proposition 0.3 justifle la d¶eflnition suivante.¶DEFINITION 0.4. | Soient A un anneau et M un A-module. On dit que M est de
longueur n s’il poss?ede une flltration flnie de longueur n dont les quotients successifs
sont simples.
COROLLAIRE0.5.|Sur la cat¶egorie des A-modules de longueur flnie { la longuer { est
une fonction additive. Un module est de longueur nulle si et seulement si il est lui-m^eme
nul.
Les modules de longueur flnie ont des propri¶et¶es bien sp¶eciales, nous en montrons
quelques-unes ci-dessous.
COROLLAIRE 0.6. | Soit M un module de longueur flnie sur un anneau A. Soient
m ;:::;m l’ensemble flni d’id¶eaux maximaux de A tels que M =0. Alors l’application1 r mi
canonique :
rY
M ! Mmi
i=1
est un isomorphisme.
Ces deux modules sont de longueur flnie comme A-modules car (A=m ) = A=m eti m ii
(A=m ) =0 pour j =i. Par le corollaire 0.5 il nous su–t de montrer que l’applicationi mj
consid¶er¶ee est injective. Ce dernier point est clair car si x n’est pas nul x a une image
non nulle dans au moins un localis¶e M par I 1.7 e).mi
COROLLAIRE 0.7. | Soit A un anneau de longueur flnie alors Pic(A)=0.
Soit L un A-module inversible, si m est un id¶eal maximal de A, L est isomorphe a?m
A (I 3.9). Donc on a par 0.6m
Y Y
L’ L ’ A ’A :m m
Remarquons que toute suite d¶ecroissante de sous-A-modules d’un A-module de
longueur flnie est stationnaire en vertu de 0.5. Cette propri¶et¶e s’¶etudie pour elle-m^eme.
¶DEFINITION 0.8. | Soient A un anneau et M un A-module, on dit que M est un A-
moduleartinien si toute famille non vide de sous-A-modules de M poss?ede un ¶el¶ement
minimal pour l’inclusion. Si A lui-m^eme est un A-module artinien on dit que A est un
anneau artinien.
Par le lemme de Zorn, M est artinien si et seulement si toute cha^‡ne d¶ecroissante de
sous-A-modules est stationnaire.
Exemple 0:9 : Soient A un anneau local m son id¶eal maximal. Supposons que m soit
nun A-module de type flni. Alors, pour tout entier n, l’anneau A=m est artinien. En efiet
i n+1 nles m =m i•n¡1 donnent une flltration de A=m dont les quotient successifs sont
des espaces vectoriels de dimension flnie sur A=m.
660 00Exercice 0:10 : Soit 0 ! M ! M ! M ! 0 une suite exacte de A-modules.
0 00Montrer que M est artinien si et seulement si M et M le sont. V¶erifler le m^eme¶enonc¶e
ou? \artinien" est remplac¶e par \de longueur flnie".
LEMME 0.11. | Soit A un anneau noeth¶erien et soit M un A-module. Alors il existe
un ¶el¶ement x non nul de M tel que son annulateur soit un id¶eal premier de A.
Soit I un id¶eal maximal parmi ceux qui sont des annulateurs d’¶el¶ements non nuls de
M. Alors I =A sinon l’¶el¶ement qu’il annule serait nul. Montrons que I est premier. Si a
et b sont dans A, abx=0 et ax=0 alors b2ann(bx)?I, donc b2I.
COROLLAIRE 0.12. | Soient A un anneau noeth¶erien et M un A-module de type flni.
Alors M poss?ede une flltration flnie 0 = M ‰ M ‰¢¢¢‰ M = M telle que M =M0 1 n i+1 i
soit isomorphe ?a A=p ou? p est un id¶eal premier de A.i i
0Puisque M est noeth¶erien, choisissons M un sous-A-module maximal parmi ceux
0ayant une flltration telle que celle de l’¶enonc¶e. Le lemme 0.11 appliqu¶e a? M=M montre
0que M =M .
PROPOSITION0.13.|Soit A un anneau. Les propositions suivantes sont¶equivalentes :
(i) A est un anneau noeth¶erien de dimension z¶ero
(ii) A est de longueur flnie
(iii) A est un anneau artinien.
Il est clair que (ii) implique (i) et que (ii) implique (iii).
Sous les hypoth?eses de 0.13 (i) les id¶eaux premiers de A sont maximaux, et par 0.12
A est de longueur flnie. Nous avons donc montr¶e que (i) implique (ii).
Exercice 0:14 : Montrer que 0.13 (iii) implique 0.13 (ii)
PROPOSITION 0.15. | Soit A un anneau noeth¶erien de dimension 1. Alors si f est
un ¶el¶ement de A non contenu dans les id¶eaux premiers p de A tels que dimA=p = 1 le
groupe Pic(A=fA) est nul.
Par le corollaire 0.7 et la proposition 0.13 il nous su–t de montrer que dimA=fA=0.
C’est clair par l’hypoth?ese sur les id¶eaux premiers contenant f.
Exemple 0:16 : Soit A un anneau noeth¶erien int?egre de dimension un et soit f un
¶el¶ement non nul de A alors, Pic(A=fA)=0.
Exercice 0:17 : Soit A un anneau noeth¶erien et soit p un id¶eal premier minimal de
A.
a) Montrer que A est artinien.p
b) Montrer que dans une flltration de A comme celle consid¶er¶ee en 0.12, il existe
toujours un quotient M =M qui soit isomorphe a? A=p.i+1