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  • cours - matière potentielle : geometrie arithmetique
COURS DE GEOMETRIE ARITHMETIQUE Lucien SZPIRO I – Le groupe de Picard 1 – Produit tensoriel et localisation. 2 – Schemas et schemas projectifs. 3 – Modules projectifs. 4 – Modules inversibles. 5 – Faisceaux inversibles sur les schemas. II – Anneaux de dimension un 0 – Anneaux noetheriens de dimension zero. 1 – Anneaux principaux. 2 – Elements entiers. 3 – Extensions algebriques de corps. 4 – Corps de nombres, ordre d'un corps de nombres, anneaux d'entiers algebriques.
  • extension finie
  • longueur finie
  • corps de caracteristique zero
  • anneaux noetheriens de dimension zero
  • elements entiers
  • anneau d'entiers algebriques
  • homomorphisme
  • anneau
  • anneaux
  • corps

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Exrait

¶ ¶ ¶COURS DE GEOMETRIE ARITHMETIQUE
Lucien SZPIRO
I { Le groupe de Picard
1 { Produit tensoriel et localisation.
2 { Sch¶emas et sch¶emas projectifs.
3 { Modules projectifs.
4 { Modules inversibles.
5 { Faisceaux inversibles sur les sch¶emas.
II { Anneaux de dimension un
0 { Anneaux noeth¶eriens de dimension z¶ero.
1 { principaux.
2 { El¶ements entiers.
3 { Extensions alg¶ebriques de corps.
4 { Corps de nombres, ordre d’un corps de nombres, anneaux d’entiers alg¶ebriques.
5 { Anneaux de valuation discrete,? anneaux de Dedekind.
6 { L’application cycle.
7 { Div(A)!Pic(A).
8 { Points rationnels d’un sch¶ema projectif sur un anneau de Dedekind.
III { Le groupe de Picard compactifl¶e d’un ordre
d’un corps de nombres
1 { Espaces vectoriels de dimension un surC.
2 { Le groupe de Picard compactiߦe.
3 { La norme d’un id¶eal.
4 { La d’un ¶el¶ement, formule du produit.
5 { La d¶eflnition locale du degr¶e sur Pic (A).c
6 { Volume, d¶eflnition globale du degr¶e.
7 { Sections d’un module inversible compactifl¶e, th¶eoreme? de Riemann-Roch.
IV { Discriminant, diަerente, conducteur
V { Les th¶eoremes? classiques de la th¶eorie
des nombres alg¶ebriques
1 { Trois lemmes techniques.
2 { Finitude de Pic(A) et simple connexit¶e de SpecZ.
3 { Le th¶eoreme? des unit¶es de Dirichlet.
4 { Extensions a? ramiflcation donn¶ee.
VI { Hauteur des points rationnels d’un sch¶ema
sur un corps de nombres
1 { Fibr¶es inversibles m¶etris¶es sur un sch¶ema surC.
2 { Modeles? entiers des sch¶emas sur un corps.II { Anneaux de dimension un
La dimension d’un anneau est le maximum des cha^‡nes d’id¶eaux premiers contenus
l’un dans l’autre. Par exempleZ est un anneau de dimension un.
Nous explicitons dans ce chapitre les anneaux fondamentaux de la g¶eom¶etrie arithm¶e-
tique en dimension un : les anneaux d’entiers alg¶ebriques et les anneaux de fonctions
alg¶ebriques sur une courbe a–ne.
0 { Anneaux noeth¶eriens de dimension z¶ero.
Pour faciliter l’¶etude des anneaux de un nous ¶etablissons d’abord quelques
faits en dimension 0.
REMARQUE 0.1. | Soit A un anneau integre? de dimension un et soit f un ¶el¶ement
non nul de A, alors A=fA est de dimension z¶ero. En efiet les seuls id¶eaux premiers de A
sont (0) et les id¶eaux maximaux.
REMARQUE 0.2. | Soit A un anneau et soit M un A-module simple (i.e. un A-
module non nul qui ne contient pas de sous-A-module propre), alors il existe un id¶eal
maximal m de A tel que M ’A=m. En efiet si x est non nul dans M, x engendre M sur
A donc M ’A=I pour un id¶eal I¢¢¢
PROPOSITION 0.3 (th¶eor?eme de Jordan-H˜older). | Soient A un anneau et M un A-
0 0module. Soient (0) = M ‰ M ‰ ¢¢¢ ‰ M ‰ M = M et (0) = M ‰ M ‰0 1 n¡1 n 0 1
0¢¢¢‰M =M deux flltrations flnies de M telles que les quotients successifs M =M eti+1 i0
0 0M =M soient des A-modules simples. Alors n=q. De plus, il existe une permutationj+1 j
0 0? de f1;2;:::;ng telle que M =M ’M =M .i i¡1 ?(i) ?(i)¡1
Une flltration flnie (0) = M ‰ M ‰ M ‰ ¢¢¢ ‰ M = M est dite de longueur0 1 2 n
n. Nous allons montrer par r¶ecurrence sur n qu’on a q • n. Les r^oles de q et n ¶etant
les m^emes on aura ainsi la premi?ere partie de l’¶enonc¶e. Soit r le plus petit entier tel que
0M ?M . On a la flltration suivante dont au plus un des quotients successifs est nul, les1r
autres ¶etant simples :
0 0 0 0 0 0(0)=M ‰M ‰¢¢¢‰M ‰M =M ‰M =M ‰¢¢¢‰M =M =M=M :1 1 1 10 1 r¡1 r r+1 q
Le module M=M ayant une flltration a? quotients successifs simples, de longueur n¡1,1
par r¶ecurrence on a q•n¡1 ou q¡1•n¡1 en tout cas q•n.
Il nous reste a? montrer qu’ a l’ordre pres? les quotients successifs sont les m^emes. Soit
m un id¶eal maximal de A, si M est un A-module poss¶edant une flltration comme dans
l’¶enonc¶e, M est un A -module de longueur flnie. En fait la flltration (0)= M ‰¢¢¢‰m m 0
M ‰ ¢¢¢ ‰ M = M tensoris¶ee par A donne une flltration de M (I 1.7 b)). Lesi n m m
0 0quotients successifs sont nuls s’ils sont isomorphes a? A=m ou? m est un id¶eal maximal
difi¶erent de m. Les quotients successifsa? A=m=Am=mA restent inchang¶es.m
Appliquant la premiere? partie de l’¶enonc¶e au A -module M , la deuxieme? partie dem m
l’¶enonc¶e est prouv¶ee.
La proposition 0.3 justifle la d¶eflnition suivante.¶DEFINITION 0.4. | Soient A un anneau et M un A-module. On dit que M est de
longueur n s’il poss?ede une flltration flnie de longueur n dont les quotients successifs
sont simples.
COROLLAIRE0.5.|Sur la cat¶egorie des A-modules de longueur flnie { la longuer { est
une fonction additive. Un module est de longueur nulle si et seulement si il est lui-m^eme
nul.
Les modules de longueur flnie ont des propri¶et¶es bien sp¶eciales, nous en montrons
quelques-unes ci-dessous.
COROLLAIRE 0.6. | Soit M un module de longueur flnie sur un anneau A. Soient
m ;:::;m l’ensemble flni d’id¶eaux maximaux de A tels que M =0. Alors l’application1 r mi
canonique :
rY
M ! Mmi
i=1
est un isomorphisme.
Ces deux modules sont de longueur flnie comme A-modules car (A=m ) = A=m eti m ii
(A=m ) =0 pour j =i. Par le corollaire 0.5 il nous su–t de montrer que l’applicationi mj
consid¶er¶ee est injective. Ce dernier point est clair car si x n’est pas nul x a une image
non nulle dans au moins un localis¶e M par I 1.7 e).mi
COROLLAIRE 0.7. | Soit A un anneau de longueur flnie alors Pic(A)=0.
Soit L un A-module inversible, si m est un id¶eal maximal de A, L est isomorphe a?m
A (I 3.9). Donc on a par 0.6m
Y Y
L’ L ’ A ’A :m m
Remarquons que toute suite d¶ecroissante de sous-A-modules d’un A-module de
longueur flnie est stationnaire en vertu de 0.5. Cette propri¶et¶e s’¶etudie pour elle-m^eme.
¶DEFINITION 0.8. | Soient A un anneau et M un A-module, on dit que M est un A-
moduleartinien si toute famille non vide de sous-A-modules de M poss?ede un ¶el¶ement
minimal pour l’inclusion. Si A lui-m^eme est un A-module artinien on dit que A est un
anneau artinien.
Par le lemme de Zorn, M est artinien si et seulement si toute cha^‡ne d¶ecroissante de
sous-A-modules est stationnaire.
Exemple 0:9 : Soient A un anneau local m son id¶eal maximal. Supposons que m soit
nun A-module de type flni. Alors, pour tout entier n, l’anneau A=m est artinien. En efiet
i n+1 nles m =m i•n¡1 donnent une flltration de A=m dont les quotient successifs sont
des espaces vectoriels de dimension flnie sur A=m.
660 00Exercice 0:10 : Soit 0 ! M ! M ! M ! 0 une suite exacte de A-modules.
0 00Montrer que M est artinien si et seulement si M et M le sont. V¶erifler le m^eme¶enonc¶e
ou? \artinien" est remplac¶e par \de longueur flnie".
LEMME 0.11. | Soit A un anneau noeth¶erien et soit M un A-module. Alors il existe
un ¶el¶ement x non nul de M tel que son annulateur soit un id¶eal premier de A.
Soit I un id¶eal maximal parmi ceux qui sont des annulateurs d’¶el¶ements non nuls de
M. Alors I =A sinon l’¶el¶ement qu’il annule serait nul. Montrons que I est premier. Si a
et b sont dans A, abx=0 et ax=0 alors b2ann(bx)?I, donc b2I.
COROLLAIRE 0.12. | Soient A un anneau noeth¶erien et M un A-module de type flni.
Alors M poss?ede une flltration flnie 0 = M ‰ M ‰¢¢¢‰ M = M telle que M =M0 1 n i+1 i
soit isomorphe ?a A=p ou? p est un id¶eal premier de A.i i
0Puisque M est noeth¶erien, choisissons M un sous-A-module maximal parmi ceux
0ayant une flltration telle que celle de l’¶enonc¶e. Le lemme 0.11 appliqu¶e a? M=M montre
0que M =M .
PROPOSITION0.13.|Soit A un anneau. Les propositions suivantes sont¶equivalentes :
(i) A est un anneau noeth¶erien de dimension z¶ero
(ii) A est de longueur flnie
(iii) A est un anneau artinien.
Il est clair que (ii) implique (i) et que (ii) implique (iii).
Sous les hypoth?eses de 0.13 (i) les id¶eaux premiers de A sont maximaux, et par 0.12
A est de longueur flnie. Nous avons donc montr¶e que (i) implique (ii).
Exercice 0:14 : Montrer que 0.13 (iii) implique 0.13 (ii)
PROPOSITION 0.15. | Soit A un anneau noeth¶erien de dimension 1. Alors si f est
un ¶el¶ement de A non contenu dans les id¶eaux premiers p de A tels que dimA=p = 1 le
groupe Pic(A=fA) est nul.
Par le corollaire 0.7 et la proposition 0.13 il nous su–t de montrer que dimA=fA=0.
C’est clair par l’hypoth?ese sur les id¶eaux premiers contenant f.
Exemple 0:16 : Soit A un anneau noeth¶erien int?egre de dimension un et soit f un
¶el¶ement non nul de A alors, Pic(A=fA)=0.
Exercice 0:17 : Soit A un anneau noeth¶erien et soit p un id¶eal premier minimal de
A.
a) Montrer que A est artinien.p
b) Montrer que dans une flltration de A comme celle consid¶er¶ee en 0.12, il existe
toujours un quotient M =M qui soit isomorphe a? A=p.i+1 i
c) Montrer qu’il existe un¶el¶ement x de A tel que annulateur(x)= p. (On pourra
par exemple utiliser 0.14 dans A ).p
66d) Montrer que l’ensemble des id¶eaux premiers minimaux de A est flni.
1 { Anneaux principaux.
Un anneau est dit principal s’il est integre? et si tout id¶eal est principal. Dans un
anneau principal tout¶el¶ement irr¶eductible non inversible { i.e. non trivialement divisible
{ engendre un id¶eal premier.
Exercice 1:1 : D¶emontrer queZ et k[X] (k un corps) sont des anneaux principaux. On
notera les r^oles similaires tenus par la \valeur absolue" et le \degr¶e".
La proposition 1.2 qui suit est classique et se trouve dans tous les livres d’algebre.?
PROPOSITION1.2(th¶eoreme? desdiviseurs¶el¶ementaires).|SoitAunanneauprincipal.
0Soit M un A-module libre de rang n et soit M un sous A-module de M. Alors il existe
0une base e ;:::;e de M, des ¶el¶ements a de A tels que a divise a , tels que M soit1 n i i i+1
0libre, que la suite des (a e ) qui sont non nuls forment une base de M .i i
¶DEFINITION 1.3. | Soit A un anneau int?egre, un A-module M est dit sans torsion
si un ¶el¶ement non nul de M n’est annul¶e que par z¶ero.
Exemples 1:4 :
a) Un sous-module d’un A-module sans torsion est sans torsion.
_ (I)b) Si M est un A-module alors M est sans torsion car contenu dans A .
LEMME 1.5. | Soit A un anneau int?egre et noeth¶erien et soit M un A-module de type
__flni sans torsion, alors l’homomorphisme canonique M !M est injectif.
On a le diagramme commutatif suivant :
__ __M ¡!M›K##M ¡!M ›K
ou? toutes les ?ec? hes sont naturelles. Dire que M est sans torsion c’est exactement dire
_ __que M !M›K est injectif. L’anneau A¶etant noeth¶erien M et M sont de type flni
quand M l’est, il est alors clair que
__M›K!M ›K
__ __estunisomorphismecar(M ›K)estisomorphea?(M›K) (exercice).Onend¶eduit
__que M !M est injectif.
Note 1.6. Quand A n’est pas integre? on prend le lemme 1.5 comme \d¶eflnition" de
\sans torsion".
COROLLAIRE 1.7. | Soit A un anneau principal. Tout A-module de type flni
sans torsion est libre. Pour tout A-homomorphisme de A-modules libres de rang flni
0 0’:M !M il existe des bases de M et de M telles que ’ soit diagonal.
Un A-module qui est le dual d’un module de type flni est un sous-A-module d’un
module libre de rang flni. Le lemme 1.5 et le th¶eoreme? 1.2 impliquent donc la premiere?partie de l’¶enonc¶e du corollaire 1.7. Notons que sur un anneau principal si ’ : M ! A
est une forme lin¶eaire non nulle, alors il existe un facteur direct libre de rang 1 dans
M. En efiet Im’ = Ax, x = 0. L’application surjective M ! Ax se scinde puisque Ax
est libre quand A est integre.? Par r¶ecurrence sur l’entier rang (M › K) on a ainsiAK
une d¶emonstration de M sans torsion de type flni, alors M libre car, par le lemme 15,
_ 0M =0 si M =0. Si ’:M !M alors Im’ et Ker’ sont des sous-modules de modules
libres appliquant 1.2 on a 1.7.
COROLLAIRE 1.8. | Soit G un sous-groupe flni du groupe des ¶el¶ements non nuls d’un
corps k. Alors G est cyclique.
Le groupe G ¶etant flni et commutatif il existe un entier n et une suite exacte :
n0!Ker’!Z !G!0 :
n
Parlaproposition1.2onpeutdonc¶ecrire G='Z=aZou? aucundes a n’estnulpuisquei i
G est flni. Si a est le pgcd des a il est facile de voir que a annule G, et que d’autre parti
n
al’¶el¶ement (1;1;:::;1) de ' Z=aZ est d’ordre exactement a. L’¶equation x = 1 n’a quei
i=1
a solutions dans k, donc G est d’ordre au plus a. On en d¶eduit que (1;1;:::;1) engendre
G (et que n=1).
Le corollaire suivant montre l’existence d’¶el¶ements primitifs pour les extensions de
corps flnis.
COROLLAIRE 1.9. | Soit k un corps flni de cararact¶eristique p, alors k est engendr¶e
par un ¶el¶ement comme alg?ebre sur le corps premierF .p
nCOROLLAIRE 1.10. | Soit G un sous-groupe discret de R , alors G est un Z-module
libre de rang au plus n. De plus une base de G surZ est form¶ee d’¶el¶ements lin¶eairement
ind¶ependants surR.
D¶emonstration : Soit r le cardinal maximum des ensembles d’¶el¶ements de G qui
soient lin¶eairement ind¶ependants surR. Soient x ;:::;x ;r ¶el¶ements de G lin¶eairement1 r
ind¶ependants, et soit
rX
D =f fi xj•fi •1g:i i i
1
Pourtout¶el¶ementxdeGilexisteunensembleflnidenombresr¶eels‚ telsquex=§‚ x .i i i
Si [‚] d¶esigne la partie entiere? de ‚ on a : x=§[‚ ]x +§(‚ ¡[‚ ])x . Donc D\G, quii i i i i
est flni puisque G est discret, engendre G surZ. LeZ-module G est donc de type flni et
sans torsion, c’est donc unZ-module libre. Son rang est au moins r. Il est au plus r car
nous allons montrer qu’il existe d2Z, d non nul tel que dG soit dans leZ-module libre
engendr¶e par les x . Consid¶erons les ¶el¶ements de D\G suivants :i
rX
y = (j‚ ¡[j‚ ])x :j i i i
i=1
6660 0
0L’ensembleD\G¶etantflni,ilexistej etj distinctstelsquey =y .Onadonc(j¡j )xj j
dans §Zx . Le groupe G ¶etant unZ-module de type flni l’existence d’un d comme plusi
haut est prouv¶ee.
Exercice 1:11:Soitfiunnombrer¶eelirrationnel,montrerquepourtout ">0ilexiste
p "des entiers p et q tels quejfi¡ j< .q q
n¶DEFINITIONS 1.12. | Les sous-groupes discrets de R de rang exactement n sont
n nappel¶es des r¶eseaux de R . Si ⁄ est un r¶eseau de R on appelle volume de ⁄, et
on note vol(⁄), le volume pour la mesure de Lebesgue du polytope construit sur une Z
base de ⁄.
Il est clair que ce r¶eel non nul est ind¶ependant de la base choisie. La th¶eorie des corps
de nombres alg¶ebriques d¶evelopp¶ee ci-dessous nous fournira de nombreux exemples de
r¶eseaux.
2 { El¶ements entiers.
Nous ¶etudions ici les \morphismes flnis" au sens des vari¶et¶es alg¶ebriques ou des
sch¶emas.
¶DEFINITION 2.1. | Soit B un anneau et soit A un sous-anneau de B. On dit qu’un
¶el¶ement x de B estentiersur A s’il satisfait une ¶equation, dite ¶equation de d¶ependance
int¶egrale, de la forme :
n n¡1x +a x +¢¢¢+a x+a =01 n¡1 n
ou? les a sont dans A. On dit que B est entier sur A si tout ¶el¶ement de B satisfait unei
¶equation de d¶ependance int¶egrale ?a coe–cients dans A.
Par exemple le corps des nombres complexes est entier sur le corps des r¶eels. On sait
que ce dernier corps n’est pas entier sur le corps des rationnels.
PROPOSITION 2.2. | Soit B un anneau et soit A un sous-anneau de B. Soit x un
¶el¶ement de B. Les propositions suivantes sont ¶equivalentes :
(i) x est entier sur A
(ii) l’anneau A[x] est un A-module de type flni
(iii) il existe un sous-anneau de B, contenant A[x], et qui est un A-module de type
flni.
D¶emonstration : Soit x satisfaisant une ¶equation unitaire de degr¶e n comme dans la
id¶eflnition2.1.Onnotequecette¶equationded¶ependanceint¶egralemultipli¶eeparx donne
n+i n+june expression de x comme combinaison lin¶eaire a? coe–cients dans A des x pour
j =i¡1;i¡2;:::;i¡n. Il nous reste a? montrer que (iii) implique (i). Soient x ;:::;x1 n
des g¶en¶erateurs sur A d’un sous-anneau de B contenant A[x]. La multiplication par x
dans cet anneau donne des expressions :
nX
xx = a xi ij j
j=1nX
ou encore (– x¡a )x = 0. Si d est le d¶eterminant de la matrice (– x¡a ) onij ij j ij ij
j=1
obtient dx =0 pour tout j. Donc d:1=d=0 puisque les x engendrent B sur A. C’estj j
bien une ¶equation de d¶ependance int¶egrale de x sur A.
COROLLAIRE 2.3. | Soit B un anneau et soit A un sous-anneau. Alors l’ensemble
des ¶el¶ements de B qui sont entiers sur A est un sous-anneau de B appel¶e la cl^oture
int¶egrale de A dans B.
En efiet si A[x] et A[y] sont des A-modules de type flni, A[x;y] est un A[x]-module
de type flni. Comme A[x] est un A-module de type flni, A[x;y] est un A-module de type
flni. On en d¶eduit que x¡y et xy sont entiers sur A.
p p
3Exemple 2:4 : Les nombres r¶eels 2 et 7 sont entiers sur Z. On notera qu’il estp p
3assommant de trouver une ¶equation pour 2+ 7.
¶DEFINITION 2.5. | Soient B un anneau, A un sous-anneau. On dit que A est
int¶egralement ferm¶e dans B si tout ¶el¶ement de B entier sur A, est d¶ej a dans A.
Le cas particulier suivant est d’un int¶er^et constant.
¶DEFINITION 2.6. | Si A est un anneau int?egre on dit qu’il est int¶egralement clos
s’il est int¶egralement ferm¶e dans son corps de fractions.
Exercice 2.7 a) : Montrer qu’un anneau principal est int¶egralement clos.
b) Soient A un anneau int?egre, S une partie multiplicativement stable de A.
¡1Montrer que si A est int¶egralement clos alors S A l’est aussi.
PROPOSITION 2.8. | Soient B un anneau int?egre et A un sous-anneau de B tel que
B soit entier sur A. Pour que B soit un corps il faut et il su–t que A soit un corps.
¡1Si B est un corps et x est dans A, x satisfait une ¶equation
¡n ¡n+1 ¡1x +a x +¢¢¢+a x +a =0 :1 n¡1 n
nEn multipliant par x on voit que
2 n¡2 n¡1x(¡a ¡a x¡a x ¡¢¢¢¡a x ¡a x )=1 :1 2 3 1 n
R¶eciproquementsiAestuncorpsetB int?egreentiersur A,tout¶el¶ementxdeB satisfait
n n¡1une¶equationx +a x +¢¢¢+a x+a =0.Prenantune¶equationdedegr¶eminimum1 n¡1 n
on voit que a = 0. Donc a est inversible et on an n
¡1 n¡1 n¡2xa (¡x ¡a x ¡¢¢¢¡a )=1.1 n¡1n
Exercice 2:9 : Soient A un anneau et B un sur-anneau entier sur A. Montrer que
l’application SpecB!SpecA est surjective.
6Exercice 2:10 : Soit A un anneau contenu dans un anneau B de telle fa»con que B soit
une A-algebre? de type flni.
a) Supposons que A soit local et B entier sur A. Montrer qu’un id¶eal premier de
B dont l’intersection avec A est l’id¶eal maximal, est un id¶eal maximal de B.
b) Montrer que si B est entier sur A le morphisme SpecB!SpecA est surjectif
a? flbres flnies.
3 { Extensions alg¶ebriques des corps.
Une extension entiere? d’un corps est dite alg¶ebrique. Si L est un corps contenant un
sous-corps K de telle fa»con que L soit un espace vectoriel de dimension flnie sur K alors
Lestalg¶ebriquesurK.SadimensioncommeK-espacevectorielestappel¶eeledegr¶edeL
sur K. On le note [L:K]. Si K‰L‰M sont des corps on a [M :L][L:K]=[M :K].
Soient R un anneau, K un sous-corps de R et x un ¶el¶ement de R. Il existe un
K-homomorphisme’etunseuldel’anneaudepolyn^omesK[X]dansRtelque’(X)=x.
L’¶el¶ement x est alg¶ebrique sur K si Ker’ = 0. Dans ce cas l’id¶eal Ker’ est engendr¶e
par un polyn^ome unitaire non nul uniquement d¶etermin¶e. Ce polyn^ome est appel¶e le
polyn^ome minimal de x sur K.
PROPOSITION 3.1. | Soient K un corps et P un polyn^ome non constant ?a coe–cients
0dans K. Alors il existe une extension alg¶ebrique K de K de degr¶e flni de K telle que
0P(X) se d¶ecompose en facteurs du premier degr¶e dans K [X].
Parr¶ecurrencesurledegr¶e ddeP(X),onpeutsupposerqueP estirr¶eductible.Parla
proposition2.8K[X]=(P(X),estuncorpsK ou? l’image xdeX estracinedeP(X)=0.1
Donc (X¡x) est facteur de P(X) dans K [X] et l’hypothese? de r¶ecurrence permet de1
conclure.
LEMME 3.2. | Soient K un corps de caract¶eristique z¶ero ou un corps flni, F(X) un
polyn^ome unitaire de degr¶e n irr¶eductible. Alors ses n racines dans une extension flnie
0K de K sont distinctes.
Comme F(X) est irr¶eductible c’est le polyn^ome minimal d’une quelconque de ses
0racines x. Si une racine ¶etait double la d¶eriv¶ee de F (X) s’annulerait aussi en x. Si K
0est de caract¶eristique z¶ero, F est de degr¶e un de moins que F et n’est pas nul (F est
0 0unitaire). Le fait que F devrait diviser F est une contradiction. Donc F est nul et la
caract¶eristique est p nombre premier non nul. Le polyn^ome F(X) est alors de la forme
np (n¡1)p pX +a X +¢¢¢+a X +a . Il est classique de voir que l’homomorphisme1 n¡1 n
pde Frob¶enius x ! x de K dans K est un homomorphisme d’anneaux r¶eduits, donc
injectif. Comme K est suppos¶e flni cet est bijectif. Tout ¶el¶ement de K
p
est une puissance p-ieme? et on peut ¶ecrire a = b . Le polyn^ome F(X) est alors ¶egal a?i i
n n¡1 p(X +b X +¢¢¢+b X +b ) qui n’est pas irr¶eductible.1 n¡1 n
LEMME 3.3. | Soient K un corps et ? un homomorphisme de corps de K dans un
0corps C, alg¶ebriquement clos. Soit K un corps extension de degr¶e flni de K alors ? se
0 0prolonge en un homomorphisme de corps ? de K dans C.
60 0SiK estdelaformeK[x]lelemmeestclair.Parr¶ecurrencesur[K :K]onseramene?
a? ce cas.
PROPOSITION 3.4. | Soit K un corps de caract¶eristique z¶ero ou un corps flni. Soit C
0un corps alg¶ebriquement clos contenant K et soit K , une extension de degr¶e flni n de
0K. Alors il existe n K-homorphismes de corps distincts de K dans C.
0L’¶enonc¶e est vrai quand l’extension K de K est monog?ene par le lemme 3.2.
0En raisonnant par r¶ecurrence sur [K : K] on se ramene? a la situation suivante :
0 00 0 0K ‰ K ‰ K , [K : K] = m < n, ? : K ! C i = 1;:::;m, des K-homomorphismesi
0 00 00 0distincts. Chaque ? se prolonge en ? : K ! C par le lemme 3.3. Il y a [K : K ] telsi i
00 0 00 0prolongements distincts par hypoth?ese de r¶ecurrence car [? (K ) : ? (K )] = [K : K ].i i
00 0 00On a donc m[K :K ]=n K-homomorphismes distincts de K dans C.
Exercice 3:5 : (th¶eor?eme de l’¶el¶ement primitif). Montrer que si K est un corps flni ou
0 0un corps de caract¶eristique z¶ero et si K en est une extension flnie, il existe x dans K
0tel que K =K[x].
4 { Corps de nombres, ordre d’un corps de nombres, anneau d’entiers
alg¶ebriques.
Nous introduisons ici le langage de la th¶eorie alg¶ebrique des nombres.
¶DEFINITION 4.1. | Un corps K extension alg¶ebrique de degr¶e flni du corps Q des
nombres rationnels est appel¶e un corps de nombres. L’entier [K : Q] est appel¶e le
degr¶e de K.
2Par exempleQ[i] avec i =¡1 est un corps de nombres de degr¶e 2 surQ.
¶DEFINITION 4.2. | Soit K un corps de nombres et soit A un anneau entier sur Z,
contenu dans K et dont le corps de fractions soit K. On dit que A est un ordre du
corps de nombres K.
p p
Par exemple Z[ 5] est un ordre du corps de nombres Q[ 5]. On notera cependant
p p
1+ 5queZ[ ] est aussi un ordre deQ[ 5].
2
¶DEFINITION 4.3. | Soit K un corps de nombres. On appelle anneau des entiers
alg¶ebriques de K, la cl^oture int¶egrale O deZ dans K.K
Exercice 4:4 : Montrer queO est un ordre de K.K
Exercice4:5:(Anneauxdesentiersdesextensionsquadratiques).SoitK uneextension
quadratique deQ.
p
a) Montrer qu’il existe d dansZ sans facteurs carr¶es tel que K =Q[ d].
p
b) Si d·2 ou d·3 mod. 4 montrer que l’anneauO est ¶egal a?Z+Z d.K
p
1+ d
c) Si d·1 mod. 4 montrer queO est ¶egal a?Z+Z( ).K 2

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