Exercice corrigé sur les fonctions exponentielle

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10 octobre 2013

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A Redouté-Metrich TS Fonction exponentielle : Exercices Corrigé LA REDACTION EST PARFOIS SUCCINCTE.

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Exponentielle exercice de math

A Redouté-Metrich

Fonction exponentielle

:sexeEicrc

LA REDACTION EST PARFOIS SUCCINCTE.

Exercice 1:Calculs avec exp
1)e2xex1e3xe2xexexe4xe2xe4x
e3x11e3xexe3x11e3xexe2xe4xd’où l’égalité
2)2ex2x1e2xe2x1e2xe2x1e4ex2x
e
De même,eex2x11exexd’où l’égalité demandée
2
3)e2xe22xexete2x0donc par définition de la racine carréeex2

Exercice 2:réDeévis


a)fx3exxe3DfDf
b)fxxexDfDf
c)fxexxDfDf
d)fxexx1DfDf\1
fxexx1exxex
x12x12

e)fxexpx2DfDf
f)fxexpx DfDf
fx2exx21ex
e

fx3exe3
fxexxex1xex
fxexxex1x
ex2ex


fx2e2x

Exercice 3:Résolution d’stionéqua



a)e32x1e32xe032x0carexpest bijective surdoncS32
b)e3x1e123x12x1doncS1
c)ex12ex210ex12(impossible) ouex21x20donc
d)ex3ex13xx12x1doncS21
e)exex1exe12x12x21x12doncS1
f)
3e2x4ex70Xexet3X24X70
7

XexetX1ouX3doncS0
ex1ouex73impobissel
x0
g)exex1XexetXX110doncS
XexetX2X10 0

alors

S2

Corrigé

2e3x1
e2x1

e

x
2e2

TS - Exercices : Fonction exponentielle (corrigés)

h)
exe1xe1XexetXXe1e0
XexetX21eXe0
ex1ouexe
x0oux1

 e12

Exercice 4:Résolution de systèmes

a) exe2y11
ex2eye

S3; 2

b) 2ex5e3yey17
ex
impossible doncS



ex2y1e0x2
y10
ex2ye1x2y1

2ex3ey1

2ex10ey14

donc



2ex3ey1
13ey13

S0; 1

x12y
12y2y1



2ex3ey1
ey1

x3
y2

Exercice 5:Résolution d’inéqutaoisn
a)e2x1e2xe02x0(carexpest strictement crosisante sur)2xdoncS2;
b)ex 2est toujours vraie carex0doncS
c)e2x1e e e2x12e e2(car les deux membres sont positifs)e4x2e34x23x
S;45
d)e3xex33xx3carexpbijective et strictement croissante surx34doncS

e)ee23xx11e12
ex2e2
x2 2carexpbijective et strictement croissante sur
x0S; 0
2x11nscoèridex 13
f)e3x1eon
2x1
e3x1e1
32xx111carexpbijective et strictement croissante sur
5x
3x10(faire un tableau de signes)S;130;
g)
4e2x3ex14ex23ex10
Xexet4X23X10
Xexet14X1
doncS
14ex1
ex1car pour tout réelx,ex0
x0

; 0

5
4

3
4 ;

TS - Exercices : Fonction exponentielle (corrigés)

Exercice 6:Calculs de limites

1)
a)xlimex doncxlimexxlime1x0et par limite de somme et d’inversexlim11ex1

b)xlimex donc, par limite de somme et d’inversexlim11ex0
c)e2xx1exx1ex1
onclime2x1
lxim0exx11etlxim0ex12dx0x2(limite d’un produit)
d)exx1egxxg11avecgdéfinie surpargxex
Orgest dérivable en1donclimexx1eg1e
x1
1l
e)x e1x1e x1ximxe1XX011donc, par limite de composée,xlimx e1x11
1lim
xX0
f)limex etxlimex0donc, par limite de somme,xlimex2ex 
x
lim
g)xex0etxlimex donc, par limite de somme,xlimex2ex
2)
ar continuité etlim
a)En 0:lxim0ex23px0ex10par continuité donc, par limite de quotient,
limx .
x0f
Dx
e mêmexli0mf 
12ex12ex
En:fxeexx1ex 1ex
lim 12ex1etlim 1ex1d
xxonc, par limite de quotient,xlimfx1
En:xlimex22etxlimex11donc, par limite de quotient,xlimfx2
b)En 0:lxim0x11
lxi0mx1etXlimeX0donc par limite de composéelxi0me1x0donc, par limite de produit,xli0mfx0
lim 1 e1
tlimfx 
x0xtXlimeX donc par limite de compos