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Description

  • cours - matière potentielle : correspondant
Exercices • ◦ • ◦ • MPSI2 2011/12 Lycee Louis le Grand ◦ • ◦ • ◦ R. Mansuy
  • calcul effectif
  • argument de z1 −
  • cercle du plan complexe
  • affixe du centre du cercle
  • complexe exercice
  • passant par le point d'affixe
  • logiciel de calcul formel
  • relation d'ordre
  • exercice
  • exercices

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Nombre de lectures 198
Langue Français

Exrait

Exercices

MPSI 2011/122
Lycee Louis le Grand

R. MansuyChapitre 0 Avant-Propos
Labor improbus omnia vincit
Virgile
Ce document, destine a la classe deMPSI du lycee Louis le Grand pour l’annee2
2011/2012, rassemble la plupart des exercices proposes en classe. En fonction des
besoins de la classe, certains exercices ne seront pas traites et d’autres seront
ajoutes. Il convient de preciser quelques conseils methodologiques :
. Avant de se lancer dans les exercices, il est necessaire de conna^ tre le contenu
du cours (resultats, demonstrations mais aussi exemples et applications).
. Pour les calculs, l’utilisation de la calculatrice ou d’un logiciel de calcul formel
peut ^etre utile mais ne doit pas remplacer systematiquement le calcul e ectif.
. Certains exercices sont plus diciles et il peut arriver que vous ne sachiez pas
les resoudre en un temps raisonnable. Avant d’abandonner un exercice, vous
devez dresser la liste des points de cours correspondant a l’enonce et dresser
la liste des idees que vous avez eues en detaillant pourquoi elles ne permettent
pas de conclure. C’est le meilleur moyen de progresser rapidement.
. Quelques exercices signales par l’inscription [?] sont corriges a la n du poly-
copie. Ces corriges sontal pour permettre un travail di erent ; il ne s’agit pas
de se precipiter sur le corrige mais d’avoir une redaction sur laquelle s’appuyer
en cas de di cultes une fois l’exercice cherche et resolu.
. Apres les exercices, un chapitre rassemble quelques series de questions Vrai
ou Faux (corrigees en n de polycopie) et permet de reviser activement les
colles.
. Il peut rester des erreurs d’enonce. Si jamais vous pensez en avoir trouve une,
manifestez-vous aupres de vos camarades pour veri er vos doutes puis faites
m’en part (en classe, sur le forum http://hx2torch.free.fr ou sur mon
adresse electronique roger.mansuy@gmail.com).
R.M.
217 Espaces vectoriels, applications lineaires 40
18 Espaces vectoriels de dimension nie 43
19 Calcul matriciel 45
20 Systemes lineaires 48
Table des matieres 21 Fractions rationnelles 50
22 Integration sur un segment 52
23 Series numeriques 55
0 Avant-Propos 2 24 Integration sur un intervalle quelconque 57
25 Etude metrique des arcs 59
1 Ensembles, applications 4
26 Groupe symetrique 60
2 Corps des nombres complexes 6
27 Determinants 62
3 Fonctions usuelles 8
28 Elements de topologie 654 Equations di erentielles lineaires 11
29 Fonctions de plusieurs variables 67
5 Geometrie plane 13
30 Integrales doubles 70
6 Geometrie de l’espace 15
31 Espaces euclidiens 71
7 Arcs parametres 17
32 Endomorphismes d’un espace euclidien 74
8 Coniques 19
33 Geometrie a ne 76
9 Denombrement 21
34 Introduction a la reduction 78
10 Structures algebriques 23
35 Vrai ou Faux 80
11 Arithmetique dans Z 26
12 Polyn^ omes 28 A Quelques corriges 111
13 Suites numeriques 30 B Corriges des V/F 123
14 Limites et continuite des fonctions reelles 33 C Developpements limites usuels en 0 153
15 Derivabilite des fonctions reelles 36 D Formulaire (succinct) de trigonometrie 154
16 Formules de Taylor, etudes locales 38 E Alphabet grec 156
3Chapitre 1 Ensembles, applications
2. Montrer par l’absurde qu’il n’existe par de surjection f : E ! P(E) enA. Premiers exemples
etudiant les antecedents de la partie X =fx2E; x62f(x)g.
n 3. Conclure qu’il n’existe pas d’ensemble contenant tous les ensembles.Exercice 1.1 Soitx;y2R . Les ensemblesfx+ny; n2Ng,fx+( 1) y; n2Ng,+
y fx + ; n2Ng suivants sont-ils nis ? majores ?n
Exercice 1.6 [?] SoitE un ensemble etf :P(E)!P(E) croissante (c’est- a-dire
Exercice 1.2 Determiner parmi les ensembles suivants ceux qui contiennent la si A B, alors f(A) f(B). Montrer qu’il existe une partie X E telle que
fonction sin f(X) =X.
01. ff2C (R;R); 8x2R; f( x) = f(x)g
02. ff2C (R;R); 8x2R; f(x +) = f(x)g
03. ff2C (R;R); 9x2R; f(x) = 0g
C. Images directes et reciproques04. ff2C (R;R); 9x2R; f(x +) =f(x)g
2 05. f(a;b)2R ; a cos +b sin2C (R;R)g
22 Exercice 1.7 Soit f : (p;q)2N 7!p +q.6. f(a;b)2R ; a cos +b sin est impaireg
1 1Determiner f(Nf0g), f(2N 2N), f (f4g) et f (2N).
Exercice 1.8 Soit f :E!F , A et B deux parties de E.
B. Manipulations d’ensembles 1. Montrer que f(A[B) =f(A)[f(B).
2. Montrer que f(A\B) f(A)\f(B) ; etablir que, si f est injective, alors
Exercice 1.3 Soit trois ensembles A, B et C tels que cette relation est une egalite.

3. Trouver un exemple d’inclusion stricte (donc quand f n’est pas injective).A[B = A[C
A\B = A\C
Exercice 1.9 Soit f :E!F et A et B deux parties de F . Montrer que
1 1 1Etablir que B =C. f (A\B) =f (A)\f (B);
1 1 1 f (A[B) =f (A)[f (B);
1 { 1 {Exercice 1.4 Soit A et B deux parties de E. De nissons f (A ) =f (A) :

P(E) ! P(A)P(B)
Exercice 1.10 Soit f :E!F , A2P(E) et B2P(F ). Montrer que :’ :
X 7! (A\X;B\X)
1 1Af (f(A)); f(f (B))B:
1. Montrer que ’ est injective si et seulement si A[B =E
2. Trouver une condition necessaire et su sante pour que ’ soit surjective. Etablir les cas d’egalite.
13. On suppose que ’ est bijective. Calculer ’ .
2 2R ! R
Exercice 1.11 Soit f :Exercice 1.5 Soit E un ensemble. (x;y) 7! (x +y;xy)
La fonction f est-elle injective ? surjective ?1. Montrer qu’il existe une injection de E dansP(E).
4
R ! ] 1; 1[ Exercice 1.17 [?] Soit : N! N une bijection. Montrer que l’ensemble A =
Exercice 1.12 Soit f : xx 7! fn2N; (n)ng est in ni.1+jxj
Montrer que f est bijective et calculer sa bijection reciproque.
y1Resul tat: f :y7! :
1 j yj
E. Raisonnement par recurrence
nP p+k 2Exercice 1.18 Calculer pour tout (p;n)2N .pD. Ensembles ordonnes k=0
p+n+1Resultat: .p+1
2Exercice 1.13 Considerons la relation binaire surR de nie par Exercice 1.19 Soit (u ) la suite de nie par u = 1 etn n 0
0 0 0 0 nX(x;y) (x;y ) , jx xjy y:
8n2N; u = u :n+1 k
k=01. Montrer que est une relation d’ordre. Est-il total ?
p
n 12 2 2 Montrer que, pour tout n2N, u = 2 .2. Montrer que la borne superieure deA =f(x;y)2R ; x +y 1g est (0; 2). n
1Exercice 1.20 Soit f :x7! .21+x
Montrer que, pour tout n2N, il existe un polyn^ ome P tel quen
P (x)n(n)8x2R; f (x) = :
2 n+1(1 +x )
Exercice 1.21 Soit (F ) la suite de Fibonacci de nie par F =F = 1 etn n 0 1
8n2N; F =F +F :n+2 n+1 n
Montrer que, pour toutk2N, sin2 [F ;F 1]], alorsn s’ecrit comme sommek k+1
de termes de la suite (F ) avec des indices inferieurs ou egaux ak et deux a deuxn n
Exercice 1.14 Soit
une loi de composition interne commutative et associative
non consecutifs.
sur E, telle que
8 x2E; x
x =x: Exercice 1.22 De nissons, pour tout entier n 3, la proprieteP : il existen
nP
n 1
(u ;:::;u )2 (N ) tel que u <u <:::<u et = 1 .1 n 1 2 nDe nissons la relation sur E par : xy,x
y =x. uk
k=1
1. Reconna^ tre lorsque
est l’intersection surP(X). 31. (a) Supposons qu’il existe (u ;u ;u ) 2 (N ) tel que u < u < u et1 2 3 1 2 3
1 1 12. Montrer que est une relation d’ordre. + + = 1.
u u u1 2 3
3. Montrer que : i. Montrer que u < 3 ; en deduire la valeur de u .1 1
8 x;y2E; x
y = inf(x;y): ii. Trouver les valeurs de u et u .2 3
3(b) En deduire qu’il existe un unique triplet (u ;u ;u )2 (N ) veri ant P .1 2 3 3
Exercice 1.15 Soit E un ensemble ordonne tel que toute partie non vide et ma-
2. En s’inspirant de la question precedente, montrer queP est vraie et trouver4joree admet une borne superieure.
tous les quadruplets qui satisfont cette propriete.Montrer que toute partie non vide et minoree admet une borne inferieure.
3. Demontrer, par recurrence, que la proprieteP est vraie pour tout n 3.n
Exercice 1.16 Soit E un ensemble ordonne dans lequel toute partie non vide
Exercice 1.23 [?] Montrer par recurrence surn que parmin+1 entiers de [[2; 2n]],
possede a la fois un plus grand et un plus petit element.
il en existe toujours deux tels que l’un divise l’autre.
Montrer que E est totalement ordonne et ni.
5Chapitre 2 Corps des nombres complexes
A. Calculs elementaires B. Equations algebriques
Exercice 2.1 Calculer
Exercice 2.6 Resoudre les equations suivantes :
n n1. (1 +i) 3. (1 +i tan())
p 2 n1. (1 +i)z z 1 +i = 0 4. z =zn n2. (i 3) 4. (1 cos() +i sin()) p
4 2 32. z 2z cos() + 1 = 0 5. z = 3 i
pMaple>evalc((1+I)^ n);
4 3 2 3 2i+ 3p3. z +z +z +z + 1 = 0 6. z =
2i 3
1 1n ln 2 1 n ln 2 1( ) ( )2 2 3 2e cos n +Ie sin n Exercice 2.7 Resoudre l’equation z (3 + 2i)z + (3 + 11i)z 2(1 + 7i) = 0.4 4
Indication: : on pourra reperer une racine evidente .Exercice 2.2 Soit n2N. Montrer qu’il existe un cercle du plan complexe conte-
nant plus de n points a coordonnees entieres.
Maple>solve(z^ 3-(3+2*I)*z^ 2+(3+11*I)*z-2*(1+7*I),z);k n kIndication: on pourra veri er que j3 + 4ij = 5 puis considerer 5 (3 + 4i) pour
tout k2 [[0;n]].
1 + 3I; 2 I; 2
Exercice 2.3 Calculer les sommes suivantes

n n n Exercice 2.8 Soit n2N .P P Pn k k n1. (1 +i) 3. cos(k) 5. sin
k n 1+iz1. Soit 2CnR. Montrer que l’equation = admet n racines reellesk=0 k=0 k=0 1 iz
n n nP P P si et seulement sijj = 1.n k2. sin(k) 4. (n k) cos(k) 6. sink 2n
k=0 k=0 k=0 2. Pour tout a2R, resoudre l’equation
Exercice 2.4 [?] Soit u2Cnf1g et z2CnR: Montrer que n
1 +iz 1 +ia
= :z uz 1 iz 1 ia2R , juj = 1:
1 u
i 2Exercice 2.9 Soit2] ;] et =e ; considerons l’equationz 2z +1 = 0;Exercice 2.5
dont les racines seront notees z et z (on ne les calculera pas).1 21. Montrer que si z et z sont des complexes de module inferieur ou egal a 1,1 2p p
alorsjz +zj 3 oujz zj 3. 1. Donner les valeurs de pour lesquelles les racines z et z sont des reels.1 2 1 2 1 2
2. En deduire, par recurrence, que pour tous complexes z ;:::;z de module1 n 2. les valeurs de pour les racinesz etz sont des imaginaires1 2
ninferieur ou egal a 1, il existe (" ;:::;" )2f 1g tel que1 n purs.

p

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