Exercices de Mathématiques pour les Travaux Dirigés

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Exercices de Mathématiques pour les Travaux Dirigés

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• exercice de
• Mathématiques

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ESSTIN Parc Robert Bentz - 2, Rue Jean Lamour 54519 Vandoeuvre les Nancy Cedex tel [phone] fax [phone]

ExercicesdeMathe´matiques

pourlesTravauxDirig´es

1`e´ re annee

AVANT-PROPOS

Cepolycopi´eestunrecueild’exercicesdemath´ematiques`al’usagedese´l`eves enpremi`ereann´ee`al’EcoleSup´erieuredesSciencesetTechnologiesdel’Ing´e- nieur de Nancy. Leniveaudesexercicespropos´esestassezvariable:certainssontdes applicationsdirectesducours;d’autres,marqu´esd’unaste´ristique,sontun peudifficiles,maisilspeuventtoujoursˆetrere´solusaveclesmoyensdont disposentles´el`evesdepremi`ereann´ee. Les exercices sont pour la plupart classiques. Les plus originaux provi- ennentdelabasededonne´esEXEMAALT(ExercicesdeMathe´matiques Alternatifs), en copyleft LDL. Les noms de leurs auteurs respectifs sont men- tionne´senbasdepage.

L. Rosier

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12.

13.

SOMMAIRE

1er Semestre Ensembles - Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suite ´ iques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . s numer G´eome´trieaffineeteuclidienne......................... 4.1 Barycentre et produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Produit vectoriel et produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3G´eom´etrieanalytique............................... Applications deRdansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 5.1Limite-Continuite´................................. 5.2Applicationsde´rivables.............................. 5.3Applicationsr´eciproques............................ 5.4 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P l ˆ . . . . . . . . . . . . . . . . o ynomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FormuledeTaylor-Lagrangeetde´veloppementslimite´s.. Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Int´egralessimples....................................... 9.1Inte´graledeRiemann............................... 9.2Calculdeprimitivesetd’inte´grales.................. 2nd Semestre Equations differentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1Topologieg´en´erale-limites........................ 11.2Compacit´e......................................... 11.3De´rive´espartielles................................. 11.4 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Alge`brelin´eaire........................................ 12.1Matrices-Syst`emeslin´eaires...................... 12.2De´terminants...................................... 12.3 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4Applicationsline´aires.............................. 12.5R´eductiondesendomorphismes.................... Int´egralesdoubles......................................

1 3 5 8 8 8 9 13 13 14 16 16 18 20 22 23 23 26

28 31 31 32 34 37 39 39 42 44 48 53 57

1. Ensembles - Applications

Ex. 1Dans chacun des cas suivants mettre dans l’espacele symbole ap- propri´eparmi∈6∈⊂6⊂: a)1C; b){2}R; c){31−2i}Z; d)2Q; e)R\QC\Z; f )π R; g){π}R. Ex. 2rpanegise´dnOIl’intervalle[04]nctosionecnofnoitre`dselesdeI dansRe:ntd´efinieocsniuavdslefa¸a f 1 (x) = x 2 + 3, f 2 (x) =x+ 1, f 3 (x) =−x 2 + 4x+ 2. a)Tracersurunemeˆmefigurelescourbesrepre´sentativesdef 1 ,f 2 etf 3 . b) Etudier chacune des assertions suivantes et dire si elle est vraie ou fausse. Onjustifierasar´eponseparunargumentd’unea`deuxlignesauplus. (A 1 )∃M∈Rtel que∀x∈I f 1 (x)≤M; (A 2 )∀x∈I,∃x 0 ∈Itel quef 1 (x) =f 2 (x 0 ); (A 3 )∃x∈Itel que∀x 0 ∈I f 1 (x 0 )≤f 3 (x); (A 4 )∃x 0 ∈Itel que∀x∈I f 1 (x 0 )≤f 3 (x); (A 5 )∀x∈I,f 2 (x)≤f 1 (x). Ex. 3Dans chacun des cas suivants, dire si l’applicationf:R→Rest injective, surjective ou bijective : a)f(x) =x 2 ; b)f(x) =x 3 ; c)f(x) =x(x 2 −1); d)f(x) = expx; e)f(x) = sinx. Ex. 4SoitA={a 1   a n }un ensemble fini. 1. Soitf:A→A. Montrer quefest injective si, et seulement si,fest surjective.Ler´esultatpersiste-t-ilsiAest infini ? 1

2. Combien y a-t-il de bijections deAsurA?

Ex. 5majorant du nombre de chiffres d’un entierTrouver un n.

Ex. 6e´rme´re´nuqs’unulpuSppsonorgnesoitand’´epa5%par an, et que les int´erˆetsacquisa`lafindechaqueann´eeviennents’ajouteraucapital.Au boutdecombiend’ann´eeslecapitalaura-t-ildouble´?

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