Exercices et solutions sur les PPCM
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PPCM : solutions des exercices page 1 de 1 PPCM : solutions des exercices 0 0 0 0II Exemples d =bd ad d’où b =a +1, donc b =a+(b a) = (k +1)(b a) 0

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Publié le 17 octobre 2013
Nombre de lectures 565
Langue Français

Extrait

PPCM : solutions des exercices

1.
2.
3.

II

Exemples

Exercices d’entraînement

PPCM

:

solutions

4.Démontrer que, pour tout entier naturel non nulp, PGCD(9p+ 4,2p−1) = 1ou 17.
En déduire qu’il existe un seul entier non nulptel que PPCM(9p+ 4,2p−1) = 714
Lemme d’Euclide : le PGCD est PGCD(p+ 8,−17), donc c’est 1 ou 17.
Si c’est 1, le PPCM vaut 714, donc(9p+ 4)(2p−1) = 714. Equation du second
degré, pas de solution entière (à vérifier).
Si c’est 17, le PPCM vaut714×17, donc(9p+ 4)(2p−1) = 714×17. Equation du
second degré, seule solution entière : 26 (à vérifier).
5.Déterminer les couples(a, b)d’entiers naturels tels que
PGCD(a, b) +PPCM(a, b) =b+ 9
d+da0b0=db0+ 9, doncd(1 +a0b0−b0) = 9.

6.

On essaye les 3 valeurs possibles ded:1; 3; 9
Pour chaque valeur :b0(a0−1) = 9d−1
Si le second membred9−1est nul (d= 9), on trouve comme ensemble de solutions
pour(a, b)l’ensemble des couples(9,9k)pourkentier naturel.
Sid9−16= 0(d= 1oud= 3), on raisonne par cas suivant les décompositions du
second membre en facteurs premiers.
On trouve finalement dans ce cas (à vérifier) :S={(5; 2),(3; 4),(9; 3)}
Soientaetbdeux entiers naturels non nuls tels quea < b.
Montrer que, si PGCD(a, b) =b−a, alors il existekunique tel que :
a=k(b−a),b= (k+ 1)(b−a)et PPCM(a, b) =k(k+ 1)(b−a)
Sid=b−ac’est queb−adivisea:a=k(b−a). (avec les notations usuelles :
a0=k).

des

exercices

d=b0d−a0dd’oùb0=a0+ 1, doncb=a+ (b−a) = (k+ 1)(b−a)
PPCM(a, b) =a0b0d=kb=k(k+ 1)(b−a)

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