Exercices - Matrices : indications Autour du produit Etude de l ...

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Exercices - Matrices : indications Autour du produit Etude de l ...

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Exercices - Matrices : indications

Autour du produit

Exercice 1 - Produits possibles-L1/Math Sup-? Pour multiplier deux matrices, il faut que le nombre de colonnes de la première vaut le nombre de lignes de la seconde. Exercice 2 - Des calculs de produits-L1/Math Sup-? Pour que le produitABsoit bien défini, il faut que le nombre de colonnes deAsoit égal au nombre de colonnes deB. Exercice 3 - Commutant-L1/Math Sup-? Prendre une matriceB2×2quelconque, et calculer les produitsABetBA. Exercice 4 - Annulateur-L1/Math Sup-? −1 On doit trouverAB=AC. SupposerAinversible, et multiplier parA. Exercice 5 - Produit non commutatif-L1/Math Sup-?

Exercice 6 - Puissancen-ième-L1/Math Sup-? 2 3n Commencer par calculerB,B, etc... Pour calculerA, on peut utiliser la formule du binôme de Newton carBetIcommutent.

Etude de l’ensemble des matrices

Exercice 7 - Centre-L1/Math Sup-?

1. Poserle calcul comme pour un produit classique de matrice. Une seule colonne (resp. une seule ligne) sera non-nulle. 2. Démontrer d’abord qu’une matrice commute avec toutes les matrices deM n (R)si et seulement si elle commute avec lesE i,j . Utiliser ensuite le calcul précédent pour montrer que nécessairement tous ses coefficients non diagonaux sont nuls, et que tous ses coefficients diagonaux sont égaux. Exercice 8 - Un sous-espace vectoriel de matrices-L1/Math Sup-? Introduire     1 0 00 0 00 0 1     A=  0 0 0  , B=  0 1 0  , C=  0 0 0  0 0 10 0 01 0 0 et remarquer queE=vect(A, B, C). Exercice 9 - Matrices symétriques et anti-symétriques-Math. Sup-?? t UtiliserA±A.

Rang

Exercice 10 - Explicite...-L1/Math Sup-? Utiliser la méthode du pivot de Gauss, jusqu’à obtenir une matrice échelonnée.

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