Exercices sur le chapitre SUITES ET SERIES DE FONCTIONS

Description

Exercices sur le chapitre 5: SUITES ET SERIES DE FONCTIONS 74. Determiner si les proprietes suivantes sont vraies ou fausses. On donnera une demonstration complete dans le premier cas et un contre-exemple dans le deuxieme cas. Les fonctions fn (non necessairement continues) sont definies sur un intervalle I. a) Si fn ? f uniformement sur I et si f est bornee sur I, alors chaque fn est bornee sur I. (On rappelle que f est bornee sur I si et seulement si il existe B > 0 tel que, pour tout x de I on ait |f(x)| ≤B). b) Si fn ? f , et gn ? g uniformement sur I, alors fn + gn ? f + g uniformement sur I. c) Si fn ? f , et gn ? g uniformement sur I, alors fn gn ? f g uniformement sur I. d) Si (fn) converge uniformement sur [ a, b [ et si la suite numerique (fn(b)) est convergente, alors la suite de fonctions (fn) converge uniformement sur [ a, b ] . e) Si fn ? f simplement sur I, avec fn et f continues, alors la convergence est uniforme sur I. f) Si fn et gn sont continues sur I = [ a, b ] , et si (fn) et (gn) convergent uniformement sur I, alors (fn gn) converge uniformement sur I.

• limites respec


• exercices sur le chapitre


• hypotheses supplementaires


• uni- formement convergentes


• convergence normale


• convergence


• formement


• serie ∑

Sujets

• Convergence normale
• Convergence
• exercice
• exercices

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Extrait

Exercices sur le chapitre 5: SUITES ET SERIES DE FONCTIONS

74.sprosileet´epri´avtnssiutnrvseosouesaie´Dmretreni compl`etedanslepremiercasetuncontre-exempledans n´ecessairementcontinues)sontd´efiniessurunintervalle

fausses.Ondonneraunede´monstration ledeuxi`emecas.Lesfonctionsf n (non I.

a) Sif n →fnurofime´mentsurIet sifro´neeusrestbI, alors chaquef n ruseen´ortbesI. (On rappelle quefesusrn´eetborIsi et seulement si il existeB >0 tel que, pour toutxdeIon ait|f(x)| ≤B).

b) Sif n →f, etg n →grustnemue´mrofinI, alorsf n +g n →f+guusremtnmre´inofI.

c) Sif n →f, etg n →gorm´uniftsuremenI, alorsf n g n →f gemm´orifurtsennuI.

d) Si (f n uniform´ementsur)[egrevnoca, bm´nuiqer(uee[stlisaiuetf n (b)) est convergente, alors la suite de fonctions (f n tneme´mrofinuegronve)cr[sua, b] .

e) Sif n →fsimplement surI, avecf n etfcontinues, alors la convergence est uniforme surI.

f) Sif n etg n sont continues surI= [a, b] , et si (f n ) et (g n c)noneutevgrfoni´ermntmersuI, alors (f n g n stru)vnocergeuniform´emenI.

75.Montrer que sif n : [a, b]7→Rest continue pour toutn, et si (f n ) converge uni- form´ementsur[a, b[ , alors (f n rgvenieuon)ctnus[rofmre´ema, beatnidornelad´]e.m[oRnesptrr duth´eor`emesurleslimitesuniformesdefonctionscontinues].

∞ n X (−1) 76.r[erqMontei´sreeualgeernvcorustneme´mrofinu−1,1 ] . [Faire apparaˆıtre la n n+x n=2 P n s´erie(−1)/n].  ! ∞ n n+1 X x x 77.noMertrelqu´easeri−ustneme´[rvergconformeuni−1,[On pourra1 ] . n n+ 1 n=1 utiliserlefaitquelase´rieestte´lescopique].

Montrer qu’il y a convergence normale sur [ 0,mais pas sur [1 ] −1,0 ] .

78.SoitI= ] 1,+∞[ . Pourx∈I, on pose ∞ X 1 f(x) =. n 1 +x n=0 a)Ve´rifierquefinserusteefid´I b) Montrer quefest continue surI 1 c) Montrer quefsurest de classe C I ∞ d) Expliquer succintement pourquoifest C surI e) montrer que limf(x) = +∞alr`renoMi.[eire´senu’dedia’rique].g´eom´et + x→1 ∞ X 1 79.Montrer que la fonctionffin´epaierdf(x] 0est continue sur ) = , π[ . n n!(sinx) n=0

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