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Publié par | Oliv94 |
Publié le | 10 octobre 2013 |
Nombre de lectures | 316 |
Langue | Français |
Extrait
Seconde-Fonctions homographiques-cours
1
Introduction
VoirleTPGe´oge´bra.
2 La fonction inverse
Fonctions
homographiques
Mai 2011
2.1De´finition
Consid´eronslafonctionfd´efinirapef(x) = 1. Alors :
x
1.fruefid´esniste]− ∞; 0[∪ +]0 ;∞[=R∗;
2.L’e´quationf(x) = 0-a`-tse’c,redi1x= 0calcbruoperese´rdeaslusoontion,detnptmaetaidvne’Hdefne coupe pas
l’axe des abscisses.
3.Pourtoutre´elx <0,1<0. Donc sur]− ∞; 0[,f(x)<0etHest en-dessous de l’axe des abscisses.
x
4.Pourtoutr´eelx >0,1x >0. Donc sur +0 ;∞[,f(x)>0etHest au-dessus de l’axe des abscisses.
5.Pourtoutr´eelx6= 0,f(−x) =−1x=−1x=−f(x). On dit que la fonctionfpaimstecoSae.irrperebrutatnese´ive
admet l’origineOntcederem´syriet.euder`precemoem
La fonctionftseitnoofcn´leepaeprse.inve
2.2
Sens de variation
The´or`eme:Lafonctioninverseeststrictementd´ecroissantesur]− ∞; 0[et sur +]0 ;∞[elisn’lema(etnd´astpessaisroec
surR∗).
De´monstration:
´
1. Etude des variations defsur]− ∞; 0[
Soientx1etx2ed´rxusleedel’intervalle]− ∞; 0[, tels quex1< x2deontiiaarevsdenselrenimrete´D.fa`eitnrve
comparerf(x1)etf(x2),cedesrlneigeretnemierid´da`tse’-a`-f(x1)−f(x2).
f(x1)−f(x2) =x11−x12antlesde.Enmettnoasmueˆxurfcaitatinr,eud´meomen:tbononeit
f(x1)−f(x2 1) =×x21−×1x2×x1, soitf(x1)−f(x2) =x2x1−x2x1.
x
Or :
–x1< x2donc0< x2−x1.eLun´mretauerdelafractionestcnodisop.fit
–x1∈]− ∞; 0[doncx1<0. De meme,x2∈]− ∞; 0[doncx2<0,tneuqe´cons.Parx1x2>0(le produit de
ˆ
deuxnombresn´egatifsestunnombrepositif).Led´enominateurdelafractionestdoncpositif.
Lenume´rateuretledenominateurdef(x1)−f(x2),nt.sficraP´snoeuqesotinoptsf(x1)−f(x2)>0et donc
´
f(x1)> f(x2).
Nousavonsdoncmontre´quesix1etx2eutdonssdel´exrtnrelei’eavll]−∞; 0[, tels quex1< x2alorsf(x1)> f(x2).
L’ordree´tantchange´,lafonctioninverseeststrictementd´ecroissantesur]− ∞; 0[.
´
2. Etude des variations defsur +]0 ;∞[
Soientx1etx2erxe´dueel’ielsdvallnter +]0 ;∞[, tels quex1< x2om.Cc´´eprmedemeemtno,an:
f(x1)−f(x2) =x2x1−x1.
x2
Or :
–x1< x2donc0< x2−x1.nuLeerm´.fitisopcnodtsenioctraafelrdeuat
–x1∈]0 ; +∞[doncx1>0em,meeˆD.x2∈]0 ; +∞[doncx2>0,tnesnocuqe´ar.Px1x2>0(le produit de deux
nombrespositifsestunnombrepositif).Led´enominateurdelafractionestdoncpositif.
Lenume´rateuretlede´nominateurdef(x1)−f(x2)sitifs.Parcons´equent,ostnopf(x1)−f(x2)>0et donc
f(x1)> f(x2).
Nousavonsdoncmontr´equesix1etx2’lnisledlaeletvrsontr´eedeux]0 ; +∞[, tels quex1< x2alorsf(x1)> f(x2).
L’ordre´etantchang´e,lafonctioninverseeststrictementde´croissantesur +]0 ;∞[.
Remarque:onauraitpude´duirelesensdevariationdefsur +]0 ;∞[de celui defsur]− ∞; 0[: en effet,f´etantimpaire,
sacourberepr´esentativeestsym´etriqueparrapportaupointO. Donc sifsetnruorceassirtcisesttn´detem]− ∞; 0[[alors
feststdte´rcioirtcmenerssantesu +]0 ;∞[.
Isabelle Morel
1
Seconde-Fonctions homographiques-cours
Conse´quence:Deuxnombresdemeˆmesigneetleursinversesnesontpasrangesdanslemˆemeordre.
´
Mai 2011
Applications :
1. Comparer les nombres1et1.
π−3 021
0< π−3<021. Ces deux nombres sont dans l’intervalle +]0 ;∞[essestrtoiinvnretlafoncteetnasisroecd´ntmeteic
sur]0 ; +∞[sretneieveetsrordt,l’quenns´earcoP.π1−3>0112.
´
2.Voirexercicecorrige´dulivrepage116.
3. Soitxonnnluetqleuel´enru−136x612.Quepeut-onee´dnriuduopeselrmbnos:re
(a)1x?
−
(b)x+32?
(a)−316x621doncxedvserdnpsevetisiporseualaflI.sevitage´nteparerl’utdoncs´edxuac:se´utedne
– Si−136x <0roecd´ntesntsaisstnate´eemetcirtruals,orninosrevofalitcn]− ∞; 0[hangestc´eetdrerl,o’
−3>xraP.snocuqe´,tnex∈]− ∞;−3].
– Si0< x612rusetnassiocr´etdenemctristioninverse´etantaolsrl,fanotc]0 ; +∞[t´geechaneestordr,l’
x>2ocsnP.raqu´et,enx∈[2 ; +∞[.
Conclusion : Sixeleuqelnonnultstunr´ee−316x612alorsx1∈]− ∞;−3]∪[2 ; +∞[.
(b)Commen¸conspare´crireleprogrammedecalculassoci´e:
– 1) Prendre un nombre
– 2) Lui ajouter 3
– 3) Prendre l’inverse du nombre obtenu
– 4) Multiplier par−2.
On a donc :
1 1
−36x62
1 1
⇒3−363 +x63 + 2
8
⇒36x+ 3672
3 1 2
⇒8>x+ 3>7
Ajouter3
Prendre l’inverse ;83et72sont des nombres positifs
etlafonctioninverseeststrictementde´croissantesur]0 ;
l’ordreestdoncchange´
⇒ −2×386−2×x+316−2×72Multiplier par−2avec−2<0
3−2−4
⇒ −6+ 367
4x
Conclusion : Sixenutsee´rlnonnultelque−136x612alorsx−2+3∈[−
Isabelle Morel
2
3
4 ;
−4].
7
+∞[
Seconde-Fonctions homographiques-cours
Mai 2011
Bilan
La courbe representative de la fonction inverse est une
´
hyperbole, de centre l’origineO(00)re.eer`pud
0
3
Isabelle Morel
0
k
k
k
ց
−∞
0
x
Variations
de
1
x7→
−∞
+∞
ց
+∞
−8
−9
−10
Exercice:Re´soudredansR’in´ltionequa1<2rbouacelesr´epersne,dtnadia’tioninverse.neatitevedalofcn
x
7
La fonction inverse est la fonctionfesurefinid´R∗parf(x) =x1
.
fsestrusetnassiroecd´ntmeteictr]∞; 0[et sur +]0 ;∞[.
Lacourberepr´esentativedefest une hyperbole ne coupant pas l’axe des abscisses. Elle est en-dessous de l’axe des
abscisses sur]− ∞;0[et au-dessus sur]0 ; +∞[.
Lacourberepre´sentativedefest impaire : elle admet l’origineOecemmocere`perudrie.m´etdesyntre
Le tableau de variations defest :
2.
3.
4.
5.
1.
−3
−4
−5
1
5
6
−6
−7
2
3
2
3
1
4
−2
8−5−4
−7−6−3−2−−11
2.3
Courberepre´sentative
8
9
6
7
4
5
Seconde-Fonctions homographiques-cours
3 Fonctions homographiques
Mai 2011
Soienta,b,cetdlsteequr´eslseedc6= 0.
x+b
On appelle fonction homographique toute fonctionfpeinfie´draf(x) =cxa+d.
ment six6=−d. Doncfrsuiefin´etdesR
finseeistueelemtnestd´efisicx+d6= 0d-a`seristeieluec’,t-esc{−cd}.
Exemples :
ge ra.
1.VoirTPG´eo´b
x)3=2xx−1+2erminer l’ensembl
2. Soitfalcnofepniarontiefid´f(fin.´e´eDdteedendioitf.
Solution:Lede´nominateurd’unefractionnepeutpaseˆtrenul,doncfstefie´dseinsteieluementsi2x−16= 0.
Or,2x−1 = 0⇔x=21. Doncfes´etdiefinrsuR{21}.
3. Soitgonctiond´efinieparfalg(x) = 2−2x3+6.
(a)D´eterminerl’ensembledede´finitionDgdeg.
`
(b) A l’aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation degsurDg.
(c) Montrer cette conjecture.
(d) Dresser le tableau de variations deg.
(e)Tracerlacourberepre´sentativedeg.
Solution :
(a)gets´dfieinieeseutsmelesint2x+ 66= 0. Or2x+ 6 = 0⇔x=−3. DoncDg=R{−3}.
´
(b) A l’aide de la calculatrice, on conjecture quegest strictement croissante sur]− ∞;−3[et sur]−3 ; +∞[.
´
(c) Etude des variations sur]− ∞;−3[
Soientx1etx2euxrdedslee´]− ∞;−3[tels quex1< x2.
(∗)⇔x1< x2<−3
(d)
(∗)
(∗)
(∗)
⇔
⇔
⇔
2x1<2x2<−6
2x1+ 6<2x2+ 6<0
1 1
0>2x1+ 6>2x2+ 6
Multiplier par2avec2>0
Ajouter6
Prendrel’inverse:dedeuxnombresn´egatifs
Lafonctioninverseeststrictementde´croissantesur]− ∞; 0[
donc l’ordre chan