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6 Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 2011 Fonctions homographiques 1 Introduction Voir le TP G´eog´ebra. 2 La fonction inverse 2.1 D´efinition 1 Consid´erons la fonction f d´efinie par f(x) = . Alors : x ∗1. f est d´efinie sur ]−∞ ; 0[∪]0 ; +∞[=R ; 1 2. L’´equation f(x) = 0, c’est-`a-dire = 0 n’admet pas de solution, donc la courbe repr´esentativeH de f ne coupe pas x l’axe des abscisses. 1 3. Pour tout r´eel x 0, > 0. Donc sur 0 ; +∞[, f(x) > 0 etH est au-dessus de l’axe des abscisses. x 1 1 5. Pour tout r´eel x = 0, f(−x) = =− =−f(x). On dit que la fonction f est impaire. Sa courbe repr´esentative −x x admet l’origine O du rep`ere comme centre de sym´etrie. La fonction f est appel´ee fonction inverse. 2.2 Sens de variation Th´eor`eme : La fonction inverse est strictement d´ecroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[ (mais elle n’est pas d´ecroissante ∗surR ). D´emonstration : ´1. Etude des variations de f sur ]−∞ ; 0[ Soient x et x deux r´eels de l’intervalle ]−∞ ; 0[, tels que x 0 (le produit de1 1 2 2 1 2 deux nombres n´egatifs est un nombre positif). Le d´enominateur de la fraction est donc positif. Le num´erateur et le d´enominateur de f(x )− f(x ) sont positifs. Par cons´equent, f(x )− f(x ) > 0 et donc1 2 1 2 f(x ) >f(x ).1 2 Nousavonsdonc montr´eque six etx sontdeux r´eelsdel’intervalle ]−∞ ; 0[,tels quex f(x ).1 2 1 2 1 2 L’ordre ´etant chang´e, la fonction inverse est strictement d´ecroissante sur ]−∞ ; 0[. ´2.

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Publié par
Publié le 10 octobre 2013
Nombre de lectures 316
Langue Français

Extrait

Seconde-Fonctions homographiques-cours

1

Introduction

VoirleTPGe´oge´bra.

2 La fonction inverse

Fonctions

homographiques

Mai 2011

2.1De´finition
Consid´eronslafonctionfd´efinirapef(x) = 1. Alors :
x
1.fruefid´esniste]− ∞; 0[∪ +]0 ;∞[=R∗;
2.L’e´quationf(x) = 0-a`-tse’c,redi1x= 0calcbruoperese´rdeaslusoontion,detnptmaetaidvne’Hdefne coupe pas
l’axe des abscisses.
3.Pourtoutre´elx <0,1<0. Donc sur]− ∞; 0[,f(x)<0etHest en-dessous de l’axe des abscisses.
x
4.Pourtoutr´eelx >0,1x >0. Donc sur +0 ;∞[,f(x)>0etHest au-dessus de l’axe des abscisses.
5.Pourtoutr´eelx6= 0,f(−x) =−1x=−1x=−f(x). On dit que la fonctionfpaimstecoSae.irrperebrutatnese´ive
admet l’origineOntcederem´syriet.euder`precemoem
La fonctionftseitnoofcn´leepaeprse.inve

2.2

Sens de variation

The´or`eme:Lafonctioninverseeststrictementd´ecroissantesur]− ∞; 0[et sur +]0 ;∞[elisn’lema(etnd´astpessaisroec
surR∗).

De´monstration:
´
1. Etude des variations defsur]− ∞; 0[
Soientx1etx2ed´rxusleedel’intervalle]− ∞; 0[, tels quex1< x2deontiiaarevsdenselrenimrete´D.fa`eitnrve
comparerf(x1)etf(x2),cedesrlneigeretnemierid´da`tse’-a`-f(x1)−f(x2).
f(x1)−f(x2) =x11−x12antlesde.Enmettnoasmueˆxurfcaitatinr,eud´meomen:tbononeit
f(x1)−f(x2 1) =×x21−×1x2×x1, soitf(x1)−f(x2) =x2x1−x2x1.
x
Or :
–x1< x2donc0< x2−x1.eLun´mretauerdelafractionestcnodisop.fit
–x1∈]− ∞; 0[doncx1<0. De meme,x2∈]− ∞; 0[doncx2<0,tneuqe´cons.Parx1x2>0(le produit de
ˆ
deuxnombresn´egatifsestunnombrepositif).Led´enominateurdelafractionestdoncpositif.
Lenume´rateuretledenominateurdef(x1)−f(x2),nt.sficraP´snoeuqesotinoptsf(x1)−f(x2)>0et donc
´
f(x1)> f(x2).
Nousavonsdoncmontre´quesix1etx2eutdonssdel´exrtnrelei’eavll]−∞; 0[, tels quex1< x2alorsf(x1)> f(x2).
L’ordree´tantchange´,lafonctioninverseeststrictementd´ecroissantesur]− ∞; 0[.
´
2. Etude des variations defsur +]0 ;∞[
Soientx1etx2erxe´dueel’ielsdvallnter +]0 ;∞[, tels quex1< x2om.Cc´´eprmedemeemtno,an:
f(x1)−f(x2) =x2x1−x1.
x2
Or :
–x1< x2donc0< x2−x1.nuLeerm´.fitisopcnodtsenioctraafelrdeuat
–x1∈]0 ; +∞[doncx1>0em,meeˆD.x2∈]0 ; +∞[doncx2>0,tnesnocuqe´ar.Px1x2>0(le produit de deux
nombrespositifsestunnombrepositif).Led´enominateurdelafractionestdoncpositif.
Lenume´rateuretlede´nominateurdef(x1)−f(x2)sitifs.Parcons´equent,ostnopf(x1)−f(x2)>0et donc
f(x1)> f(x2).
Nousavonsdoncmontr´equesix1etx2’lnisledlaeletvrsontr´eedeux]0 ; +∞[, tels quex1< x2alorsf(x1)> f(x2).
L’ordre´etantchang´e,lafonctioninverseeststrictementde´croissantesur +]0 ;∞[.
Remarque:onauraitpude´duirelesensdevariationdefsur +]0 ;∞[de celui defsur]− ∞; 0[: en effet,f´etantimpaire,
sacourberepr´esentativeestsym´etriqueparrapportaupointO. Donc sifsetnruorceassirtcisesttn´detem]− ∞; 0[[alors
feststdte´rcioirtcmenerssantesu +]0 ;∞[.

Isabelle Morel

1

Seconde-Fonctions homographiques-cours

Conse´quence:Deuxnombresdemeˆmesigneetleursinversesnesontpasrangesdanslemˆemeordre.
´

Mai 2011

Applications :
1. Comparer les nombres1et1.
π−3 021
0< π−3<021. Ces deux nombres sont dans l’intervalle +]0 ;∞[essestrtoiinvnretlafoncteetnasisroecd´ntmeteic
sur]0 ; +∞[sretneieveetsrordt,l’quenns´earcoP.π1−3>0112.
´
2.Voirexercicecorrige´dulivrepage116.
3. Soitxonnnluetqleuel´enru−136x612.Quepeut-onee´dnriuduopeselrmbnos:re
(a)1x?

(b)x+32?
(a)−316x621doncxedvserdnpsevetisiporseualaflI.sevitage´nteparerl’utdoncs´edxuac:se´utedne
– Si−136x <0roecd´ntesntsaisstnate´eemetcirtruals,orninosrevofalitcn]− ∞; 0[hangestc´eetdrerl,o’
−3>xraP.snocuqe´,tnex∈]− ∞;−3].
– Si0< x612rusetnassiocr´etdenemctristioninverse´etantaolsrl,fanotc]0 ; +∞[t´geechaneestordr,l’
x>2ocsnP.raqu´et,enx∈[2 ; +∞[.
Conclusion : Sixeleuqelnonnultstunr´ee−316x612alorsx1∈]− ∞;−3]∪[2 ; +∞[.
(b)Commen¸conspare´crireleprogrammedecalculassoci´e:
– 1) Prendre un nombre
– 2) Lui ajouter 3
– 3) Prendre l’inverse du nombre obtenu
– 4) Multiplier par−2.
On a donc :

1 1
−36x62
1 1
⇒3−363 +x63 + 2
8
⇒36x+ 3672
3 1 2
⇒8>x+ 3>7

Ajouter3

Prendre l’inverse ;83et72sont des nombres positifs

etlafonctioninverseeststrictementde´croissantesur]0 ;

l’ordreestdoncchange´

⇒ −2×386−2×x+316−2×72Multiplier par−2avec−2<0
3−2−4
⇒ −6+ 367
4x
Conclusion : Sixenutsee´rlnonnultelque−136x612alorsx−2+3∈[−

Isabelle Morel

2

3
4 ;

−4].
7

+∞[

Seconde-Fonctions homographiques-cours

Mai 2011

Bilan

La courbe representative de la fonction inverse est une
´
hyperbole, de centre l’origineO(00)re.eer`pud

0

3

Isabelle Morel

0
k
k
k

ց

−∞
0

x
Variations
de
1
x7→

−∞

+∞

ց

+∞

−8

−9

−10
Exercice:Re´soudredansR’in´ltionequa1<2rbouacelesr´epersne,dtnadia’tioninverse.neatitevedalofcn
x

7

La fonction inverse est la fonctionfesurefinid´R∗parf(x) =x1
.
fsestrusetnassiroecd´ntmeteictr]∞; 0[et sur +]0 ;∞[.
Lacourberepr´esentativedefest une hyperbole ne coupant pas l’axe des abscisses. Elle est en-dessous de l’axe des
abscisses sur]− ∞;0[et au-dessus sur]0 ; +∞[.
Lacourberepre´sentativedefest impaire : elle admet l’origineOecemmocere`perudrie.m´etdesyntre
Le tableau de variations defest :

2.
3.

4.
5.

1.

−3

−4

−5

1

5

6

−6

−7

2

3

2

3

1

4

−2

8−5−4
−7−6−3−2−−11

2.3

Courberepre´sentative

8

9

6

7

4

5

Seconde-Fonctions homographiques-cours

3 Fonctions homographiques

Mai 2011

Soienta,b,cetdlsteequr´eslseedc6= 0.
x+b
On appelle fonction homographique toute fonctionfpeinfie´draf(x) =cxa+d.
ment six6=−d. Doncfrsuiefin´etdesR
finseeistueelemtnestd´efisicx+d6= 0d-a`seristeieluec’,t-esc{−cd}.
Exemples :

ge ra.
1.VoirTPG´eo´b
x)3=2xx−1+2erminer l’ensembl
2. Soitfalcnofepniarontiefid´f(fin.´e´eDdteedendioitf.
Solution:Lede´nominateurd’unefractionnepeutpaseˆtrenul,doncfstefie´dseinsteieluementsi2x−16= 0.
Or,2x−1 = 0⇔x=21. Doncfes´etdiefinrsuR{21}.
3. Soitgonctiond´efinieparfalg(x) = 2−2x3+6.
(a)D´eterminerl’ensembledede´finitionDgdeg.
`
(b) A l’aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation degsurDg.
(c) Montrer cette conjecture.
(d) Dresser le tableau de variations deg.
(e)Tracerlacourberepre´sentativedeg.
Solution :
(a)gets´dfieinieeseutsmelesint2x+ 66= 0. Or2x+ 6 = 0⇔x=−3. DoncDg=R{−3}.
´
(b) A l’aide de la calculatrice, on conjecture quegest strictement croissante sur]− ∞;−3[et sur]−3 ; +∞[.
´
(c) Etude des variations sur]− ∞;−3[
Soientx1etx2euxrdedslee´]− ∞;−3[tels quex1< x2.
(∗)⇔x1< x2<−3

(d)

(∗)

(∗)

(∗)

2x1<2x2<−6

2x1+ 6<2x2+ 6<0
1 1
0>2x1+ 6>2x2+ 6

Multiplier par2avec2>0

Ajouter6

Prendrel’inverse:dedeuxnombresn´egatifs

Lafonctioninverseeststrictementde´croissantesur]− ∞; 0[

donc l’ordre chan

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