Les calculatricessont interdites. * * * NB:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportance`alaclart´e,`alapre´cisioneta`laconcisiondela re´daction. Siuncandidatestamene´a`rep´erercequipeutluisemblereˆtreuneerreurd’´enonce´,illesignalerasur sacopieetdevrapoursuivresacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’ila´ete´amene´ `aprendre. Fonctions de matrices Notations : 1. LesR:ssteanivsuesbr`egla-exteecetursdaucoe´se´drenoisnoct Ialg`L’ebreMn(Reer´es´eord’esllerdamrtd)seacrrcisen. ∞ ISiIest un intervalle deRnoonte,d’in´treeiruonvndi,eC’al`selgcerbummoitatedev I ∞ fonctions de classeCdeIdansR. Itcnofsederbe`glaesalminolyponsioedL’IdansRerbe’la``glaseutusleentifi´eelementidR[X]. 2. Ony rencontre aussi lesR-espaces vectoriels suivants : Ienrslonoel`se´leL’esdescpaceanliesgnt´noeMn,1(R). IL’espaceRN[X] ={P∈R[X]|degP6N},`ouN∈N. 3. Lesnotions de convergence dansMn,1(R) etMn(R) sont relatives aux normes respectives : t IkXk∞= max|xk|, siX= [x1, . . ., xn]. 16k6n IkMk=nmax|mi,j|, siM= [mi,j]16i6n. 16i,j6n 16j6n
Objectifsduprobl`eme LorsqueP∈R[X] etA∈Mn(Rnerutdonnsai),oirecmata`slasnneP(A) et l’on maˆıtrise bien le calcul polynomial surAucitreilis,qiuenr´esulte.EnparMest une matrice deMn(R), on appelle polynˆomeminimaldeMemoˆnyloeriatinulepPsbluepdl´qetgerdeuaesP(Mtaimitsde´m=0)le;i n (etonl’admettra)qu’ils’agitdupolynˆomeminimaldel’endomorphismeudeRdontMest la matrice n dans la base canonique deR. Dansunpremiertemps,cetexteproposededonnerunsens`alamatricef(A)pour toute fonction ∞ fde classeChypotdessescth`eecal,tennnaomeyrlamessunablonveectairA. Autrementdit,onapprend`amaıˆtriseruncertaincalculfonctionnelsurA. Dansunsecondtemps,onexploitecesre´sultatspourr´esoudreunsyst`emediff´erentielline´aire.