Gabès 09-10 Exercices Arithmétiques -4ième Maths Amorri Mongi ...

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Gabès 09-10 Exercices Arithmétiques -4ième Maths Amorri Mongi ...

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Extrait

Gabès09‐10

ième ExercicesArithmétiques‐4Maths

AmorriMongi

Exercicen°1: 5 3 1‐Déterminerlerestedansladivisioneuclidiennedepar11 5q+r r 3≡3 11 2‐Endéduirequepourtoutentiersqetr: [ n 3 3‐nétantunentiernaturel,quelssontlesrestespossiblesdepar11 n 3 4‐Trouverpourquellesvaleursden,+7estdivisiblepar11 Exercicen°2: I) Soitl’équation(E):70x‐13y=8. 1‐Détermineruncouple(u,v)d’entierstelque70u‐13v=1. ]×] 2‐Endéduireunesolutionparticulièrede(E)puislarésoudredans 2 3 II) Soientaetblesentiersnaturelsdéfinispara=(p+1)etb=p+1oùpestunentierpremier différentde2. a≡12 13 1‐Onsupposeque(a,b)estsolutionde(E).Montrerque. 2‐Onposed=pgcd(a,b). a‐Justifierqueddivise8 3 22 b‐Vérifierquep +1=(p+1) (p‐2)+3(p+1).Endéduirequed=pgcd((p+1) ,3(p+1))puisqued= p+1oud=3(p+1). c‐Prouverquednepeutpasêtreégaleà3(p+1)puisendéduirelesvaleurspossiblesdep d‐Montrerquelaseulevaleurpossibledepest7. Exercicen°3: ⎧ N≡5 [ 13 ⎪ 1.Onsepropose,danscettequestion,dedéterminertouslesentiersrelatifsNtelsque ⎨ . N≡1 [ 17 ] ⎪ ⎩ a.Vérifierque239estsolutiondecesystème. b.SoitNunentierrelatifsolutiondecesystème.

N=1+17x=5+13y DémontrerqueNpeuts’écriresouslaformeoùxetysontdeuxentiersrelatifsvérifiantla relation17x−13y=4.

c.Résoudrel’équation17x−13y=4oùxetysontdesentiersrelatifs.

d.Endéduirequ’ilexisteunentierrelatifktelqueN=18+221k.

⎧ N≡5 [ 13 ⎪ e.Démontrerl’équivalenceentreet ⎨ . N≡18 [ 221 N≡1 [ 17 ] ⎪ ⎩

k 10≡1 [ 17 2.a.Existe‐t‐ilunentiernaturelktelque?

l 10≡18 [ 221 b.Existe‐t‐ilunentiernaturelltelque?

Exercicen°4: