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01 mars 2008

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Geometrie Differentiable Annee 2006–2007 Ch. Peters 31 mars 2008

courbes

courbes ?

rn du produit euclidien

vecteur velocite au temps t0

atlas differentiable

coordonnees euclidiennes

equations de structure

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G´eom´etrie

Ann´ee

Diﬀ´erentiable

2006–2007

Ch. Peters

mars

2008

Tabledesmatie`res

1 Courbes 5 1.1 Courbes Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Courbes Gauches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Surfaces 11 2.1P´etrages...........................11 aram 2.2 Quelques Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3Atlasdiﬀ´erentiable........................15 2.4 Courbure de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3Champsetformesdiﬀe´rentiables21 3.1 Champs vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2Alg`ebremultili´ire.......................25 nea 3.3Formesdiﬀ´erentielles.......................30 3.4ComportementsousdesApplicationsDe´rivables.......33 ´ 3.5 Equations de Structure surRn 36. . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Le Lemme de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ´ 3.7 Equations de Structure : Cas des Surfaces . . . . . . . . . . . 41 3.8Surfacesa`CourbureConstantePositive............44 4Vari´et´esDiﬀe´rentiables47 4.1 Notions de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2Fibre´sVectoriels.........................50 4.3 Champs Vectoriels et Groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . 57 4.4FormesDiﬀ´erentielles.......................58 5 Connexions 63 5.1 Notions de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.2 M´t iques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 e r 5.3ConnexionsM´etriques......................68

TABLE

DES

` MATIERES

Chapitre 1

Courbes

Unecourbeγ:I→Rnest une applicationC∞d’un intervalle ouvert IdansRn. SiIcontient 0 on dit que lacourbeγpasse parp=γ(0). On note : ˙γ:=dγtd=dγdt1 . . .  dγn dt ` lesγkltroocnose´seodnndieiuelcdennesγ. Si on munitRndu produit ou es euclidienh−−istandard, pour deux courbesγ1etγ2on a : hγ1 γ2i˙ =hγ˙1 γ2) +hγ1 γ˙2i(1.1) Cetteformulesev´eriﬁefacilementencoordonn´eeseuclidiennes. On dit que le vecteurt(t0) :=γ˙ (t0) est le vecteurev´elocit´au tempst0 etkt(t0)klavitesseau tempst0. Une courbe est dite`iregelur´esit6= 0 partout. Dans ce cas (1.1) implique que sa vitesse est une fonctionC∞qu’on pourraitdoncint´egrerlelongdeγ; la fonction τ7→s(τ) =Zτakt(u)kdu s’appelle lalongueur d’arcsurγ(Ivrlanietel]ntl’´etaa b C’est une[ ). fonction strictement monotone, donc inversible :test une fonction deset l’onpeutreparame´trerγparsirar´nceO. g(s) :=γ(t(s)) etonremarquequeparrapport`asla vitesse est toujours = 1.

1.1 Courbes Planes On suppose queg(sre`eliguetm´rapalrapee´ra)estuenocrueblpnaree´ longueur d’arcs. On pose t=g˙. 5

6 COURBESCHAPITRE 1. C’estunvecteurunit´etangent`alacourbe.Onchoisitnceetrunuocmmve´eit orthogonal`attelle que{tn}alidtner(tocmeneitiveposent´torisenioctre de la montre). On dit qu’on a uner`premebolieoci´e`alacourbe.eLass repe`re{tn}ppta´eelsep`reederentFeer. ˙ Siond´erivelarelationhtti= 1 on trouve quet⊥tet on pose t=κn κ: lacourburedeγ. Alors on montre facilement : Lemme 1.1.1(Frenet).Soitgpanelaeprbouecunlalrapee´rte´mareurongu d arc. ’ ˙ t=κn n˙κt. =− Soitγuocerebruge´e`ilavrepaecm`rareetnut. Puisque ddtt=ddts∙dsdt=ddts∙ k˙γk

on obtient Corollaire 1.1.2(Frenet–bis). ˙ t=kγ˙k ∙κn ˙n=−k˙γk ∙κt. Lamotivationdumot“courbure”vientdel’e´tuded’uncerclekxk=r parame´tre´parlalongueurd’arc.Ontrouveh˙xxitnavenu,dncri´e=0doet fois de plushxx¨i+h˙xx˙i= 0 et doncκhxni = 0 par Frenet, ce qui+ 1 donne 1 κ=. r Eneﬀet,uncercledevraitˆetrecourb´edefac¸oninversementproportionnelle `sonrayon.Onintroduit,plusge´ne´ralement,lece le de courburede la arc courbegau pointg(s0) =g0onqe´’itaulrap + kx−[g01(s0)]k=|κ(1s0)|. κ(s0)n Lescentresde´criventlacourbey(s) =g(s)+κ1(s)n(sl´eeappe,)eepelopd´ev ´ deg.

1.2. COURBES GAUCHES Exercices au§1.1 1. Pour une courbe (x(t) y(t)) montrer que xy−xy ˙ ¨ ¨ ˙ κ˙=(x2+y˙2)3/2. 2.De´terminerlerepe`remobilepouruneparaboley=px2sur l’intervalle x∈]−11[. 1.2 Courbes Gauches Maintenantgitsoecunnieiddansl’espaceeucluobrree´ugile`erR3(muni duproduitscalairestandard)et-parnosconventions-param´etr´eeparla longueur d’arc. On poset(s) = ˙g(sinoet`ntlacaeutobrruaaetpgun),levec g(seerubmmoc)itlacour.Ond´eﬁn ˙ κ:=|t|.(1.2) ˙ De (ttuqeudtidne´1o)=tetsal`aogonortht, mais il faut noter que ce vecteurest0auxpointso`ulacourbureest0.Siκ >0 partout on pose : ˙ t n:=. κ et on introduit lebinormal b:=t×n. Parconstruction,lerepe`re{tnb}, ditepertreFendeere`a uneorienta-tion positive. En posant τ ˙:= (nb) (1.3) on a Proposition 1.2.1(Frenet-II). ˙ t=κn n˙ =−κt+τb ˙ b=−τn. De´monstrationi`erprem:Lacourbure´dalinﬁenoitaledeqe´tiuasoondert (1.2). Pour la seconde, on pose ˙n=αn+βt+γbnodtuaflmrete´dcinertie α=h˙nti,β=hn˙nietγ=hn˙bivie´dr.eiSnohnti= 0 on trouve α=−κ, dehnni= 1 on trouveβntvari´etd0e=hnbi= 0, utilisant (1.3) on trouveγ=τ.eme`uqe´rtaLisiodu´edeitioatednsonsifa¸cire.mila

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