Holomorphie proprietes elementaires

Description

Chapitre 1 Holomorphie : proprietes elementaires 1.1 Premiers pas Exercice 1.1.1 Pour tout complexe z = x+ iy (avec x, y reels) on pose ez = ex(cos(y) + i sin(y)) . (a) Montrer qu'on a e0 = 1 et ez.ez ? = ez+z ? pour tout z, z? ? C. Donner le module et un argument de ez en fonction de la partie reelle et de la partie imaginaire de z. (b) Montrer que la fonction exp : z 7? ez est periodique de periode 2pii, et est surjective de C dans C?. (c) Montrer que la fonction exp est holomorphe dans C. Quelle est sa derivee ? (d) Soit f : C ? C une fonction non nulle verifiant f(z + z?) = f(z)f(z?) pour tout z, z? ? C. On suppose de plus que f est drivable en 0. Montrer que f est holomorphe sur C, puis donner une relation entre f ? et f . Prouver qu'il existe c ? C tel que f(z) = ecz pour tout z ? C. Exercice 1.1.2 Dans cet exercice, on identifie C a R2 de la fac¸on usuelle ; pour deux complexes z0 = a0 + ib0 et z1 = a1 + ib1, la notation ?z0, z1? designe le reel a0a1 + b0b1 (le produit scalaire de z0 et z1 vus comme vecteurs du plan).

• cercle du plan


• equations de cauchy-riemann


• produit scalaire de z0


• application de r2 dans r2


• cauchy-riemann en polaires


• rotation de r2


• reel a0a1

Sujets

• Équations de Cauchy-Riemann
• exercice
• exercices

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Universit´eClaudeBernardLyonI Licencetroisi`emeanne´e:calculdiffe´rentiel Ann´ee2004-2005

Rappels de topologie

1 Exemplesd’espace de Banach. Exercice 1SoitE 1 eeuqtcem´etriunespaE 2 un espace de Banach. On notera parC(E 1 , E 2 ) (resp. parC b (E 1 , E 2 ee)s)(lr’bop.´ern)desilppasedelbmesneesnutionsconticaE 1 dansE 2 . up paceest a) Montrerque si on munitC b (E 1 , E 2 ) de la normekfk ∞ := s x∈E 1 kf(x)k 2 , alors cet es un espace de Banach. b) Montrerque siE 1 est compact, alors (C(E 1 , E 2 ),k ∙ k ∞ ) est un espace de Banach. 1 c) Onsuppose ici queE 1 = [a, b] (a, b∈R,a < b) etE 2 =Rdie`ocsn.nOreC([a, b],R) l’ensemble 1 desfonctionsre´ellesdeclasseCsur [a, b]. On munit cet espace de la norme 01 kfk 1 :=kfk ∞ +kfk ∞ , f∈C([a, b],R). 1 Montrer que (C([a, b],R),k ∙ k 1 ) est un espace de Banach. 1 Exercice 2Oere`disnocn`l’espace des suites (u n ) n>1 avelrucseuq,a`ettellesomplexes X |u n |<+∞. n>1 On munit cet espace d’une norme en posant +∞ X 1 kuk 1 =|u n |, u= (u n ) n>1 ∈` . n=1 Montrer que (` 1 ,k ∙ k 1 ) est un espace de Banach. ∞ Exercice 3consid`erenO`l’espace des suites (u n ) n>1 es´ernboetesexplmocsruelava`tec 0 le ∞ sous-espace des suites (u n ) n>1 tendant vers 0. On munit`d’une norme en posant ∞ kuk ∞ := sup|u n |, u= (u n ) n>1 ∈` . n>1 ∞ a) Montrerque (` ,k ∙ k ∞ ) est un espace de Banach. ∞ b) Montrerquec 0 cefeespaous-tunsseedmre´`e´udE.dn(ueeqirc 0 ,k ∙ k ∞ ) est un espace de Banach. Exercice 4SoitEetFdeuxespacesvotceleirronsse´mnn.OepotarL(E;F) l’ensemble des appli- cationslin´eairescontinuesdeEdansF, muni de la norme  ! kT xk F kTk:= supkT xk F = inf= sup{M >0 :kT xk F 6Mkxk E ,∀x∈E}. kxk E x∈E ,kxk E 61 x∈E ,x6=0 Montrer que siFest un espace de Banach, alorsL(E;F) est un espace de Banach. Exercice 5SoitFunKes-m´e.MontrerqueapecevtcroeinlroL(K;Ftienemquherpmosoitse)irte´mos a`F. Exercice 6SoientE 1 , . . . , E n , Forievectacdeessesposti,stemre´slonf:E 1 × ∙ ∙ ∙ ×E n →Fune applicationmultilin´eaire.Rappelonsquefest continue surE 1 × ∙∙ ∙×E n si et seulement sifest continue en (0, . . . ,0) ou si et seulement s’il existeC >0 tels que n Y kf(x 1 , . . . , x n )k F 6Ckx i k E i ,(x 1 , . . . , x n )∈E 1 × ∙ ∙ ∙ ×E n .(1) i=1 Pourf∈ L(E 1 , . . . , E n ;F), on pose kfk:= sup{kf(x 1 , . . . , x n )k F :x i ∈E i ,kx i k E i 61}.

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