Holomorphie proprietes elementaires
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Chapitre 1 Holomorphie : proprietes elementaires 1.1 Premiers pas Exercice 1.1.1 Pour tout complexe z = x+ iy (avec x, y reels) on pose ez = ex(cos(y) + i sin(y)) . (a) Montrer qu'on a e0 = 1 et ez.ez ? = ez+z ? pour tout z, z? ? C. Donner le module et un argument de ez en fonction de la partie reelle et de la partie imaginaire de z. (b) Montrer que la fonction exp : z 7? ez est periodique de periode 2pii, et est surjective de C dans C?. (c) Montrer que la fonction exp est holomorphe dans C. Quelle est sa derivee ? (d) Soit f : C ? C une fonction non nulle verifiant f(z + z?) = f(z)f(z?) pour tout z, z? ? C. On suppose de plus que f est drivable en 0. Montrer que f est holomorphe sur C, puis donner une relation entre f ? et f . Prouver qu'il existe c ? C tel que f(z) = ecz pour tout z ? C. Exercice 1.1.2 Dans cet exercice, on identifie C a R2 de la fac¸on usuelle ; pour deux complexes z0 = a0 + ib0 et z1 = a1 + ib1, la notation ?z0, z1? designe le reel a0a1 + b0b1 (le produit scalaire de z0 et z1 vus comme vecteurs du plan).
Voir
- cercle du plan
- equations de cauchy-riemann
- produit scalaire de z0
- application de r2 dans r2
- cauchy-riemann en polaires
- rotation de r2
- reel a0a1
Universit´eClaudeBernardLyonI Licencetroisi`emeanne´e:calculdiffe´rentiel Ann´ee2004-2005
Rappels de topologie
1 Exemplesd’espace de Banach. Exercice 1SoitE1eeuqtcem´etriunespaE2un espace de Banach. On notera parC(E1, E2) (resp. parCb(E1, E2ee)s)(lr’bop.´ern)desilppasedelbmesneesnutionsconticaE1dansE2. up paceest a) Montrerque si on munitCb(E1, E2) de la normekfk∞:= sx∈E1kf(x)k2, alors cet es un espace de Banach. b) Montrerque siE1est compact, alors (C(E1, E2),k ∙ k∞) est un espace de Banach. 1 c) Onsuppose ici queE1= [a, b] (a, b∈R,a < b) etE2=Rdie`ocsn.nOreC([a, b],R) l’ensemble 1 desfonctionsre´ellesdeclasseCsur [a, b]. On munit cet espace de la norme 01 kfk1:=kfk∞+kfk∞, f∈C([a, b],R). 1 Montrer que (C([a, b],R),k ∙ k1) est un espace de Banach. 1 Exercice 2Oere`disnocn`l’espace des suites (un)n>1avelrucseuq,a`ettellesomplexes X |un|<+∞. n>1 On munit cet espace d’une norme en posant +∞ X 1 kuk1=|un|, u= (un)n>1∈` . n=1 Montrer que (`1,k ∙ k1) est un espace de Banach. ∞ Exercice 3consid`erenO`l’espace des suites (un)n>1es´ernboetesexplmocsruelava`tec0le ∞ sous-espace des suites (un)n>1tendant vers 0. On munit`d’une norme en posant ∞ kuk∞:= sup|un|, u= (un)n>1∈` . n>1 ∞ a) Montrerque (` ,k ∙ k∞) est un espace de Banach. ∞ b) Montrerquec0cefeespaous-tunsseedmre´`e´udE.dn(ueeqirc0,k ∙ k∞) est un espace de Banach. Exercice 4SoitEetFdeuxespacesvotceleirronsse´mnn.OepotarL(E;F) l’ensemble des appli-cationslin´eairescontinuesdeEdansF, muni de la norme ! kT xkF kTk:= supkT xkF= inf= sup{M >0 :kT xkF6MkxkE,∀x∈E}. kxkE x∈E ,kxkE61x∈E ,x6=0 Montrer que siFest un espace de Banach, alorsL(E;F) est un espace de Banach. Exercice 5SoitFunKes-m´e.MontrerqueapecevtcroeinlroL(K;Ftienemquherpmosoitse)irte´mos a`F. Exercice 6SoientE1, . . . , En, Forievectacdeessesposti,stemre´slonf:E1× ∙ ∙ ∙ ×En→Fune applicationmultilin´eaire.Rappelonsquefest continue surE1× ∙∙ ∙×Ensi et seulement sifest continue en (0, . . . ,0) ou si et seulement s’il existeC >0 tels que n Y kf(x1, . . . , xn)kF6CkxikEi,(x1, . . . , xn)∈E1× ∙ ∙ ∙ ×En.(1) i=1 Pourf∈ L(E1, . . . , En;F), on pose kfk:= sup{kf(x1, . . . , xn)kF:xi∈Ei,kxikEi61}.
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