Indications - Exercices - Espaces euclidiens - Matrices ...

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• Publié par: abubidur
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Exercices - Espaces euclidiens - Matrices symétriques... : indications Base orthonormales et projections

Exercice 1 - Base orthonormale et polynômes-1/2 ème année-?

1. Ladimension deHest 3. Il suffit de déterminer 3 vecteurs indépendants dansH. On peut aussi déterminer classiquement une base d’un hyperplan, comme on le fait toujours! 2. Procédéde Gram-Schmidt. 3. C’estdes formules du cours, ou à base du théorème de Pythagore! Exercice 2 - Un produit scalaire sur les polynômes-L2/Math Spé-??

1. Unpolynôme de degré au plusnayant au moinsn+ 1racines est le polynôme nul. 2. Penseraux polynômes interpolateurs de Lagrange. 3. Trouverun polynômeRorthogonal à l’hyperplanHet appliquer une formule du cours.

Endomorphismes des espaces euclidiens - adjoint

Exercice 3 - Image et noyau de l’adjoint-1/L2/Math Spé-? Démontrer le premier point en utilsant quez= 0⇐⇒ ∀y∈E,(z, y) = 0. Déduire le ∗ ∗ deuxième point en utilisantu= (u). Pour le troisième, utiliser le théorème du rang. Exercice 4 - Endomorphismes de trace nulle-L2/Math Spé-?

1. Prendrela matrice deudans cette base orthonormale. 2. Quepeut-on dire d’une somme de réels nulle? 3. Pythagore. 4. Théorèmedes valeurs intermédiaires. 5. Procéderpar récurrence. Exercice 5 - Contraction-2è année-??

1. Utiliserl’inégalité de Cauchy-Schwarz. ∗2 2. Prendrexdansker(f−Id E ), et calculerkf(x)−xk. ∗ ⊥ 3. Onpeut utiliser queker(u) = (im(u)). 4. Décomposerxdans la somme directe précédente.

Endomorphismes orthogonaux - Matrices orthogonales

Exercice 6 --2è année-?

1. Ecrirem i,j comme un produit scalaire.

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