Le problème de Bogomolov e ectif sur les variétés abéliennes
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Le problème de Bogomolov e ectif sur les variétés abéliennes

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Description

  • redaction
Le problème de Bogomolov effectif sur les variétés abéliennes Aurélien Galateau Résumé. On obtient une nouvelle minoration du minimum essentiel en petite codimension sur les variétés abéliennes, sous une conjecture concernant leurs idéaux premiers ordinaires. Cette minoration, déjà connue dans le cas torique depuis les travaux d'Amoroso et David, est optimale à ε près en le degré de la sous- variété. La preuve suit la méthode des pentes et est basée sur les propriétés p-adiques des points de torsion des variétés abéliennes.
  • minimum essentiel
  • langage diophantien classique
  • minoration
  • variété abélienne
  • rang de la matrice de hasse-witt
  • méthode des pentes
  • morphismes
  • morphisme

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Langue Français

Exrait

ni.
v
to
).
minorer
v
conjecturé
sur
Néron-T
erties
est
est
ersion
la
v
semi-ab
b
Z
ordinaires.
i
of
article,
és
l'h
i
un
L
el
P
co
son
de
Soit
sous
si
b
ciée.
de
existe
vid,
tra
du
-v
the
symétrique,
oin
et
and
irr
cas
dime
ab
le
a
anslaté
14G40.
duit
p
e
minorer
arieties
successifs
e
v
p
résultat.
Bogomolo
eut
out
en
sur
ersion
une
est
This
ou
e
Néron-T
in
an
t
Théorème
of
tel
tes
Bom
p
ui
éliennes
soit
in
v
-adiques
bré
y
telle
conn
à
slop
s
des
est
the
dénie
tiel
donner
oin
sup
W
précédemmen
Mathematics
On
tra
d
(2000)
ab
er
torsion.
duction
um
p
est
hauteur
um
de
um
v
vid,
Zhang
ariétés
d
v
pas
minoration
essen
v
en
de
e
der
de
une
donner
degré
cture
ue
rieure.
primes
d'une
n
minimum
ariétés
et
i
résultat
La
par
w
par
conjecture
.f.[DP00]).
kno
as
la
théorème
toric
a
elle
Bogomolo
w
(Ullmo)
p
er
and
nn
idéaux
eri
b
aux
est
l
ible
De
eectif
généralemen
[
une
propriétés
algébrique
degree
ab
minoration,
unie
v
ample
es
a
The
hauteur
um
asso
ws
bré
de
toute
metho
de
dans
v
based
supp
a
ductible
-adic
ur
G
commence
torsion
analogue
éliennes.
i
i
eure
depuis
othèse
v
s
giv
Dénition
ject
que
p
torsion
at
la
lo
d'une
11G10,
p
aux
oint
In
in
ound
le
jet
ti
sur
v
ts
tial
hauteur
mino
Dénition
et
minimum
le
est
sub
t
t
q
sur
[Zha95a]),
les
tré
ab
s
élie
le
optimale

Une
qui
with
l
une
minim
obtien
générale,
titativ
revien
,
ce
conjecture
titati
en
enc
Soit
On
conjecture
tenan
e
généralisation
ab
onj
nr
Bogomolo
d
sup
i
1.2
la
une
et
ab
ab
L
ée
essentiel
v
nul
ar
si
ariété.
torsion.
eties.
est
une
remplace
lo
tore
preuv
généralemen
er
v
nouv
lienne
ound,
p
suit
ate
wn
so
concernan
Le
the
suiv
métho
t
case
été
ab
par
y
v.
des
1.1
ork
Il
leurs
(v
Amoroso
i
en
que
Da
a
minoration
et
is
bi
et
de
est
v
premiers
es
oss
s
basée
p
up
est
de
Plus
an
t,
les
été.

sous
Cette
our
the
d'une
BZ96]
ariété
of
élienne
minim
m
sub
d'un
d
r
ariet
et
déjà
et
.
v
p
la
pro
de
Aurélien
ate
follo
ciée
ts
ce
the
(ici
ue
dans
e
la
torsion
uite
d
cet
essen
une
is
ariété
v
toujours
on
osée
le
é
t
et
riét
s
prop
une
sur
On
of
par
ab
un
p
en
torique
ns
ts
on
Abstract.
éri
n
de
en
yp
elian
faite
e
t
arieties.
ur
les
genre.
Sub
1.1
e
dit
Class
'
alateau
de
c
si
new
est
ion
tr
v
e
:
sous-variété
w
élienne
11J81,
ar
etite
p
1
de
b
On
tro
tro
d
aussi
L'ob
minim
for
essen
de
el,
renseigne
tra
les
essen
oin
ail
de
moroso
etite
de
dans
minim
.
r
1.2
dimension
e
r
essentiel
of
la
minim
:
Da
de
essen
alen
v
ui
i
é
On
il
sur
(dans
of
par
v
démon
est
minima
ab
e
elian
théorème
nn
ar
les
torsion.
s.
de
arieties
n'est
telle
ariété
à
d'une
est
tie
small
um
v
le
v
à
quan
dimension
dimension
t,
e
Ceci
près
et
la
de
un
v
de
est
ariétés
adhér
v.
e
a
Zariski.
e
p
le
main
courb
t
ab
une
algébrique
de
t
c
ge
e
or
de
e
v
de
dimension
q
é-
inary
Théorème
dénie
(Zhang)
éliennes,
quan
r
sous-variété
in
variété
plo
élienne
sous-
.
g
e
elian
de
problème
Bogomolo
les
Résumé.
co
'A
the
ce
qui
dans
est
sa
si
jacobienne
seulement
o
une
t
de
cas
Le
le
analogue
.
vrai
On
on
note
donner
our
un
le
(c.f.[Zha92])
bré
plus
canonique
t
et
une
p
ariété
[BZ95]
é
oir
(c
la
On
hauteur
eut
de
1
ariété
Le
"
p
"
p
C
g 2 Q J(C) L
^hL
^"> 0 fx2C(Q);h (x)"gL
V A L
^hL
Q
V V
V
V
Zess^ (V ) = inff> 0;V () =V (Q)g;L
Z
^V () =fx2V (Q);h (x)g V ()L
V A
V V
Ano
r
ser
oir
matriciel
r
éliennes,
les
est
um
minimal
je
p
e
premiers
analogue
les
le
ca
i
car
d

du
,
sous
de
sous-tor
de
de
monomiale
Hyp
près),
in
n'est
s
translaté
q
titatifs
bré
onne.
um
corps
obtien
ar
d'obstruction.
qui
est
une
t
de
les
en
ab
la
Soit
sous-variété
d'une
'est
oit
de
on
On
à
[AD03]).
le
ositiv
or
la
se
te
en
v
l'h
l'h
ab
pl
1.3
(irr
e
un
déjà
.
la
t
t
plongemen
vid,
o
élienne
eut
sur
s
olar
pro
dénie
et
é
oin
as
enius
élienne
d'un
de
dép
tenan
end
t
une
terv
elle
désigne
aux
de
1.3
sous-variété
F
dimension
stricte
ienne
norme
dimension
d'une
le
n
aucun
y
de
est
premie
(hauteur
t
plongemen
que
)
mo
oir
de
Cette
v
en
existe
le
est
in
premi
(aux
réduction)
ond
othèse
t
p
.
p
théorème
pris
de
l'ensemble
plus
ab
n
ersurfac
pas

strict)
ductibles)
re
le
disp
ontenant
résultats
apparaît
inconditionnels,
premiers
endance
Dans
n'e
cié
aussi
v
1.4
standard
on)
sait
variété
r
dimension
hniq
dénie
.
prin
torique,
alement
une
e
tiennes,
br
e
Si
tiel,
sous-vari
les
de
1.3
'est
de
anslaté
vid
sous-variété
dèle
ariété
sous-vari
Résultats
un
corollaire
te
t
tiel
strict
de
t
ne
p
minoration
la
ariétés
t
sem

q
nombr
t
c
.
l'h
munie
est
Da
élienne
logarith-
minoration
une
c
br
é
dép
la
p
c
R
app
ério
qui
onjugué
le
.
ontenue
on
e
le
anslaté
d'i
degré
q
strict
à
,
1.3
densité
jectiv
(v
dans
:
asso
d'un
comparables
.
le
orne
Masser
on
en
propres
me
d'idéaux
on
degré
v
densité
degré,
aluation
que
H
torique,
de
t
de
e
regardan
l'indice
les
lo
par
qui
an
une
b
t
est
s
esp
t
el
enn
l'inmum
othèse
f
(
arian
un
i
sous-v
t
stricte)
de
que
our
d
hyp
le
us
dès
es
dans
élienne
sous
é
ce
n
érence
de
sen
érer
on
c
ose
ui
de
(parmi
quan
.
et
Soit
mais
naturellemen
dép
le
en
minim
degré
asso
s
a
pas
au
b
le
Théorème
t
(Da
ec
Philipp
ces
Soit
ab
une
i
ab
tec
de
caracté
de
s
un
p
sur
ue
,
On
c
essen
p
t
p
diophan
isé
hauteur
p
Amoroso
un
jectiv
é
l'indice
.
on
élienne
b
une
sur
ét
Dénition
stricte
p
ab
Da
n
ts
p
Soit
tr
xé,
e
ne
'une
si
ab
une
:
mo
v
donnen
Soit
et
[AD03]).
é
1.6
minim
le
qu'on
(v
essen
dule
stricte
con
pas
sous-tore
une
translaté
dép
i
rob
e
sur
plus
endan
dimension
sous-v
enir
variété
in
de
faisan
optimale
faible,
u'
othèse
i
le
mais
e
nir
de
de
opies
élienne
yp
Théorème
dont
facteurs
somme
(Amoroso,
une
de
ab
vid)
de
qu
,
end
la
un
de
sous-variété
ette
miques
ab
de
l
é
et
ordinaires
préciser
plus
de
etite
On
de
o
iemann
en
p
r
de
el
c
n
e
du
eut
c
Au
indic
umérateur,
dans
v
degré
apparaître
tr
ra
d'obstruction
on
d'un
n
b
ctivité,
e
ui
de
relié
de
p
sur
et
de
théorème
noté
pro
.
e
de
l'origine
a
le
élémen
t
la
cié
oir
au
Remarquons
s
l'action
par
our
lemme
eut
de
ordinaire
(v
:
[DP02],
réducti
particulier
Le
lem
premiers
6.8).
aleurs
minorati
e
est
et
in
p
erse
des
le
une
al
y
s
Il
dans
v
cas
othèse
elle
uniforme
s
:
linéaire
t
v
ers
r
remplacé
en
idéaux
d'obstruction
en
facteurs
sur
garithmiques
la
ce

corresp
onne
à
suiv
minoration
un
deg
yp
a
de
ul
un
é
on
des
é
obtien

Remarquons
strictement
que
v
yp
ositi
du
est
1.4
et
qu'on
ariété
pas
dère
translaté
sur
ariété
cas
élien),
p
une
e
près
ample.
s
la
ons
élienne
c
est
On
faible
.
son
sur
torique
symétrique
a
et
s
ample
théorème
bré
(
un
n'est
et
incluse
bres,
un
m
de
.
-tore
Dans
;
le
tt
cas
di
des
se
v
s
ariétés
t
ab
2
le
V A
V
V S L
V ! (V )L
! (V ) = inffdeg (Z)g;L L
S V
n nL G ,!P hLm
n ess nG (Q) ^ G (Q)m mL
nV G rm
nGm
c(n)ess (r)^ (V ) (log(3! (V ))) ;LL ! (V )L
(r+1) rc(n) (r) = (9(3r) )
A g 2
Q L V A
2(b+1)minf1;R ginjess^ (V ) ;L 311g 2k(b+1)2 (g k + 1)deg (V )L
k V V
A b Rinj
A
h (A)L

16L
1=codim(V )(V )L
V
V
V
A K L
A OK
A
K
K p
Fpun
diophan
dép
de
ail
'est
oir
ute,
'est
réduisan
r
our
preuv
ailleurs,
v
H
H
,
est
une
esoin,
le
-adiques
de
c
c
ic
oradique.
en
premier
et
opriété
e
densité
an
e
our
-rang
l
a
tels
ordinaires
surfaces
pl
surfac
trouv
de
d
métho
[
e
.
les
t
des
p
ab
sem
2.8
celui
de
sous
an
te
ot
utilise
haque
e
nature
autre
sous-variété
te
dénie
l'ob
anslaté
variété
x
roprié
sur
sur
de
t
inconditionnel.
.
n
t,
un
CM
t
v
,
de
de
une
t
é
(resp.
c
d'un
he,
onnes
de
ts
en
Si
théorème
bre
par
,
en
fonctionne
de
de
en
v
7).
réduction
sp
rang
t
Il
regard
t
un
er
cas
dimension
e
les
article
en
t
t
t
général.
v
dans
:
-adiques
con
de
on
ension
t
utile
ciés
ge
t
dans
de
la
de
yp
ontenue
conjecture
ec
1.6
ab
dénie
est
ette
de
est
our
ab
ort
p
et
les
tes
,
ou
dénition
notre
courb
l
conn
une
que
prem
si
strictement
IV,
,
elle
es
a
obten
oir
un
s'applique
our
Corollaire
faibles
algébrique
p
a
a
symétrique.
H
tr
con
e
de
appro
nom
on
our
oin
p
de
métriques
des
torsion
en
puissances
démonstration
s
La
our
hèv
dulo
argumen
son
te,
métho
classique
ées
de
o
Cet
(resp.
u
t
comp
e
tec
des
e
oir
par
lesquels
du
dulo
qui
Hasse-Witt
à
argumen
mais
a
our
in
Corol
détaill
ordinai
le
[Ogu82],
non
l
la
très
,
est
faire
présen
com
ariété
j
le
On
de
nclusion
([Gal08])
la
nom
le
à
tra
quotien
p
du
08],
.
estimations
1.5
trées
par
les
H
descen
tes
co
la
P
ab
a
c
donner
tienne
r
Pour
ce
ore
adoptan
(asso
e
à
te,
qui
g
érie
classique.
as
H
a
de
le
i
.
:
s
T
idéa
élienn
stricte
endant
ur
Sous
:
la
la
P
group
alide
ord
v
n
dép
le
.
réalisée,
conjecturer
v
7)
our
ordinaires
aut
densité
conditions
à
oser
corps
est
de
;
our
élienne
elliptique
les
résultat
ariété
Plus
lorsque
n
elliptiques,
densité
été
est
é
n'est
c
oir
ositif
au
plus,

que
CM.
propriétés
de
de
étendue
au
éliennes

Corollary
son
Notre
Si
sans
encore
on
us
Soit
Hasse-Witt
ourb
e
dans
o95],
ab
on
d'un
our
ample
b
liptique,
les
as
en
d'
er
e
trepartie,
ur
p
cette
grand
c
b
puis
bre
adopte
.
p
e
t
propriétés
vue
oin
la
No
de
de
p
t
tes
se
vue
si
la
t
du
p
1.5.
ur
preuv
)
s'ac
mo
e
on
un
nom
t
s
descen
Notre
dev
reli
u
de
dans
t
problèmes
d
minoration
au
hauteur.
n
a
e
g
égalemen
m
yp
t
a
orte
densité
complications
ec
hniques,
de
tuées
premiers
n
i
ore
our
la
mo
écicité
le
cas
,
élien,
de
on
lienne,
tendance
est
obscurcir
des
ul,
ts.
p
nous
en
donc
premiers
blé
du
téressan
é
de
lary
er
)
i
de
premi
idéa
cas
ce
trivial,
r
de
est
co
premier
de
sp
p
les
mieux
Le
apparaître
ab
idées
t
binatoires
s
-
et
ac
divisan
tes.
suiv
explique
une
co
t
commen
un
appliquer
son
descen
(v
dans
consacrés
cas
bre
Ce
la
v
v
se
e
oursuit
v
[Gal
théorème
qui
No
les
Théorème
que
Des
démon
Si
ici,
ariété
donne
vérie
détails
train
la
,
t
son
en
a
dim
de
quelconque.
pr
ar
ts
on
P
cru
diophan
de
à
un
enc
éclai
suivante.
a
conduisen
sur
toute
problème
élienne
n
algébrique
t,
ensuite
l
stricte
second
de
x
dromie
le
tra
n
n
age
De
tien
p
L'h
ailler
othèse
c
est
données
jet
dans
la
v
su
tr
v
s
te
d'une
Conjecture
des
(Serre)
ous-variété
oute
Il
ab
élienne
e
u
sur
d
vérie
Pink
.
no
c
premiers
conjecture,
mo-
p
d'ab

es
(A)
p
v
les
p
2),
toute
t
ariété
lesquels
élienne
a
dénie
nécessaire
ne
p
On
de
eut
soit
(v
H
[Pin98],
que
que
v
premiers
p
son
supp
en
susan
ositif
)
quitte
Des
étendre
si
e
encore
de
ier
p
résultat
strictement
que
P
CM,
une
e
e
b
el
érien
le

est
eet,
u.
v
précisémen
e
o
ou
sait
le
la
est
de
premiers
idéaux
r
é
-rang
r
el
pas
-rang
(v
p
[Ser68],
h
13),
ne
moins
ate
est
endant
si
les
est
de
La
égal
alidité
courb
H
métriques
été
duit
aux
p
ab
et
(v
ues
le
pro
2.9
rang
[Ogu82]).
est
théorème
t
alors
est
restricti
:
T
xé.
([Pin98],
t
pu
les
,
n
l'articulation
c
1.7
onstante
:
explicite.
c
Dans
e
ce
incluse
tra
une
v
e
ail,
élienne
on
munie
établit
br
d'ab
on
ord
et
les
Si
estimations
n
.
p
-adiques
le
qui
anslaté
son
une
t
ourb
au
el
co
3
accen
de
A A A
0 0A K A A
01 AA 1
p
p A p p
O pK
p p 0 g
p
0 p
A (A)
V A A
C (A)Less (r)^ (V ) (log(3deg (V ))) ;L L! (V )L
C (A) (A;L) (r)L
p
2
p
Q
A Q
1
K A
E
1 E 1=2
C A
L C
c (A) 64Less^ (C) log(3deg (C)) ;L L
deg (C)L
c (A) (A;L)L
A
G llts.
l'imp
ultiplication
ou
p
d
ulté
es
prendr
de
torsion
-rang
non
enable.
p
tr
Lehmer
v
construction
[BK06],
r
é
ainsi
incluse
oir
soit
ab
jta
On
as
idéal
torsion.
des
on
une
strict.
utiles
ètres
bré
tiel
la
puis
[Che06].
utilisé
maximal
utilisés)
v
théorème
ces
ura
de
plongées
élienne
:
que
Zilb
a
l'étude
1.8
par
dans
la
c
-adique
un
se
e
e
ous-tor
les
Ce
inhabituel
sur
ette
n'est
en
est
tro
utilisan
p
le
joration
p
sous-v
p
ée
des
partir
ulées
suiv
03],
t
c
Zariski
cas
brés
v
prend
la
incluse
Le
e
e
n
par
liptique
our
n
p
anslaté
Récemmen
un
[
en
tré
espaces
egger)
l'article
une
est
-adique
utilisan
formel
bri
e
ité
els
1.3).
ab
(Maurin)
hémas
qui
un
de
p
[BMZ07],
de
tr
la
tr
t
un
si
a
partie,
fonction
généraux
e
Un
mise
de
ction
mations
supp
e,
b
théorèm
un
sur
tiel
.
ab
hermitiens
de
et
de
.
semi-ab
réside
des
en
on
bré
s
été
ose
ultiplicités),
a
habituellemen
tous
p
ab
ni
el
est
[V
idée
).
s
Viada
ost
t
Chen
p
la
escrite.
duit
conjecture
Zilb
endammen
la
ise
ariété
pre
un
s
de
de
lui
de
incluse
1.3
,
la
une
ermet
e
v
e
dans
Si
courb
p
(v
le
les
sous-variété
démon
p
Maurin
oint
bieri,
il
a
et
1.8
ectoriels
conjecture
construit
co
Plan
p
deuxième
s
ti
e
à
propriété
tore,
ue
e
group
le
v
1.2
en
une
On
u
quelques
V
le
(v
v
Théorème
puis
norme
des
d'obstruction
group
our
t
e
métrique
'est
s
de
le
en
ts
dans
de
dans
t
d'un
dulo
ble
de
p
dans
d'un
te
oint
con
Zilb
la
lors
rapp
strict.
et
est
la
est
en
opt
fait
ste
notre
résultat
théorie
essen
des
[BMZ99],
Dans
tel
ersp
que
util
:
ersion
incluse
des
m
assez
de
plan
v
q
le
on

les
e
seron
um
la
des
estime
de
t
yp
principale
conjectures
cette
la
la
les
la
eti
maximale
l'absurde
sections
ts,
sur
r
r
it
en
(dans
c
t
bré
t
tan
le
formé,
on
de
ari
tes,
sous-gr
nom
à
p
ne
ma
(v
ue
de
t
[R
t
c
r
et
t
ayant
de
récemmen
Künnemann
sur
méliorés
théorème
n
dimension
)
établir
en
terv
du
de
de
théorème
p
géné
t
p
en
al
ultiplicité.
miers
une
à
fermé
ariétés
ab
foi
n'est
idéaux
un
le
ariété
t
et
2
o
théorème
algébrique
[BMZ99]
dans
Shim
tre
t

est
est
propriété
c
du
rb
Bogomolo
el-
utilisé
et
p
restriction
mixtes
.
les
morphisme
[Hab08]
'est
es
as
Bom
dans
dans
tr
our
d'une
tores.
ab
oir
stricte
t,
ar
trer
p
(v
de
d'obtenir
,
[Mau08])
existe
Théorème
un
démon
tel
Pin05],
et
la
v
(Hab
deux
de
on
Masser
ni.
er
de
Soit
La
our
p
nj
r
courb
e
une
consacrée
plongée
la
d'une
un
;
ourb
obten
en
par
ctures
du
t
e
algé
d'une
théorème
ariété
Zannier
élienne
et
caractéristique
q
.
inégal
commence
et
faire
de
rapp
e
sur
o
preuv
résultats
d'une
uniforme.
ariété
de
élienne,
1.9
sur
P
théorie
Soit
sc
la
en
une
es.
oir
obtien
ourb
ensuite
n
résultat
algébrique
la
joré
préci
l'indice
,
p
our
et
s
um
oin
incluse
de
incluse
-torsion
le
n
sous-ensem
réduisan
anslaté
sur
le
mo
sous-tor
un
5),
premier
strict
divisan
anslaté
vue
ar
une
de
x
p
n
s
on
de
v
dire
Dans
A
troisième
e
on
de
elle
m
dénitions
en
résultats
Il
de
ni.
théorie
er
p
théorème
tes.
xi
premier
i
assez
,
dans
le
application
our
cette
principal
est
minoration
ortance
e
esti-
ornes
ultramétriques.
qui
c
note
p
ose
ectiv
que
on
(paramétrés
ise
les
v
pas
du
ultiplicités,
e
dans
p
de
tes
translaté
précise
sections,
le
sous-tore
ultramé
des
i
Dans
ue
ni,
Puis
cadre
in
essen
duit
élien,
brés
:
qui
n
t
ariétés
par
t
suite
l'espace
on
estimations
leur
minim
en
t
e
(degré
La
e
dic
ti
de
sur
partie
param
dans
hauteur
ma
que
de
p
p
xe
te
ts
du
éliennes
des
oin
d'un
la
ample
on
une
par
a
a
i
éunion
de
essen
(a
form
e
lemen
m
ortan
le
tr
d'arriv
supp
é
iter
t
sur
t
cas
dans
[Zil02]),
métho
v
des
les
en
étés
à
et
d'un
éliennes
bre
oup
de
m
oin
que
Cette
complexe
joration
algébriques
obten
oir
en
ette
an
ia03],
une
Puis
guran
V
dans
Pink
Les
[Rat08]
é
de
ul
[Car09]).
a
dans
s
a
B
la
et
t
(
indép
a
le
par
o
e
1.5
dimension
enan
de
our
sur
pr
p
certains
te
les
e
particuliers
pro
Ce
tensoriel
la
deux
in
hermitiens
de
ermetten
de
elons
la
minim
des
et
e
c
dans
démonstration
er-Pink
e
sur
compte
les
m
v
On
ariétés
ensuite
ab
sous-v
éliennes
stricte
(v
d'une
oir
ariété
[Via08a]
élienne
et
qui
[
pas
Via08b]).
dans
Théorème
translaté
1.10
sous-v
(Viada)
ab
Soit
lienne
espaces
on
une
ass
c
cie
ourb
4
Rapp
nS Gm
nS =fxy;x2S;y2G ;h (y)"g:" Lm
nC Gm
"> 0 C\H"
[
H = H;
codimH=2
nGm
nC Gm
C\H
C
gC E E
g 2 C
"> 0 C(Q)\H"
p
p
p
p p A 0
q p
A
3
V A
X
E F
A X
Xde
our
de
a
les
cause
t
l'h
uniquemen
orte
m'a
Ullmo.
de
s
On
our
très
oir
passer
obten
ail
ort
une
(ou
oir
ctorat,
d'An
n
ermis
supp
corps
essen
galité
de
v
nes
place
de
conséquence
on
p
pl
par
d'obtenir
constan
On
aussi,
l'inégalité
les
la
s'exprimera
descen
c
v
de
descen
min
v
cas
Ric
t
don
dans
cle.
et
v
raît
un
partie,
but
explicitable,
ts
les
herc
monomiale
à
très
racine
que
nom
en
un
Au
en
dénom
gue
r
b
les
premiers
i
On
le
in
diction.
,
pro
deux
morphisme
gr
api
quand
tes
).
dev
v
(dans
en
ce
ts
qui
Sinnou
ate.
au
inégalité.
cours
mon
Gaudron
dimension
relecture
rédaction
commen
b
de
ert-Loir,
Le
Randriam
calc
le
constan
taires
l'injectivité
t
dép
clé
aux
éliennes
normes
dénie
l'absurde,
et
du
premiers
morphismes
de
ons
est
n'est
t
t
de
a
t
te)
trer,
un
un
en
an
l'inégalité
mier
à
l'unité
Da
d'un
(et
te
élienne
.
form
réduction
suivie

t
les
ensuite
13.2.7),
des
les
d'un
miers
n
s'il
Dans
dans
te,
doit
othèse
(v
ermetten
ce
la
s
con
enir
soit
arian
tra
endan
t
de
l'injectivité
ce
t
sera
aprè
par
e
constan
p
(
t
obtien
qu'il
c
an
te
ne
de
tradiction.
simplemen
phase
tion
de
.
e
souhaite
du
en
d'a
vid,
u
t
écrit
robl
on
v
détaille
mon
la
Eri
en
our
que
us
de
ses
t
en
ce
essen
j'ai
obtenir
des
te,
Cham
Constan
yi
est
Pink,
1.5
Emman
tra
remercie
l'existence
app
mo
les
inégalité
t
les
signicativ
san
art
morphisme.
Un
t
-adique
v
ariétés
apparai
son
donc
ab
qui
et
normes
nom
la
Hasse-Witt
la
ble
inim
c
tiens
en
Cette
.
le
cette
te
une
sc
-adique
on
p
i
l
particulier
,
e
le
la
On
par
à
b
our
trer
ab
v
com
de
'inégalité
hauteur
vraie
ariétés
pr
plus
,
d'Amoroso
-ème
et
et
s
arian
Théorème
d
L
quelconque
n
a
ec
:
des
premier
lemme
mo
dans
inégali
On
p
de
ramication
phase
ue
v
cyclotomiques
p
prop
tro
un
t
t
tes
es
inégalité,
les
d'estimer
ermettra
sous
réduction
t
a
ce
initiale
descen
cas
yp
ersinguliers,
qu
la
de
dép
p
[Gal07],
que
donc
t
le
ongemen
re
une
fera
morphisme
terv
tra-
une
hauteur
te
Le
v
injectif.
dép
v
t
suiv
t
sur
in
parvien
s
du
elle
jectiv
qui
s'eectue
prise
r
ande
s
rapp
étiré,
aux
des
tes
demen
résultats
en
meilleurs
à
t
parce
On
à
tes.
comp
onst
toute
n
u
ariété).
con
la
itération
-rang
hauteur
alors
la
t
À
fonc
de
de
en
stable
t
Remerciemen
stade
Je
)
remercier
Néron-T
haleureusem
nécessite
t
tra
Da
v
qui
tes,
patiemmen
déjà
initié
ail,
p
cette
ème
Dans
Bogomolo
On
au
a
de
la
do
classique
et
te
c
tré
p
co
sa
partie
utie
p
e
le
et
et
conseils.
endan
explique
la
um
de
conclusion
tra
an
ail,
t
pu
tiel
énécier
le
explications
les
toine
général.
b
en
Hua
tes
Chen,
on
hard
théorème
Hugues
correctemen
et
mo
uel
tra
Je
tre
enn
minoré
r
d'une
orteur
ule
t
te
commen
dulo
m'on
l'
p
v
d'améliorer
t
emen
du
cet
ne
i
rangs
2
endan
lemme
On
rang
que
sur
partie
v
s
ab
ose
Soit
ultramétriques
une
les
ariété
,
élienne
par
sur
appa-
un
diophan
de
dans
bres
dans
soit
minoration
de
des
ensem
m
de
sixième
bien
um
hoi
aille
i
tiel.
fonction
que
matrice
c
Le
su
de
tan
partie
morphisme
d'établir
est
iné
sur
a
mais
concernan
pas
les
obtien
oin
eptibles
de
(en
-torsion
njectif.
de
à
p
paramètres.
rang
de
:
commence
.
descen
c
ren
he
une
mon
appliquer
p
orne
les
v
ariétés
in
éliennes,
lemme
résultat
erse
parable
dans
l
la
suiv
zéros
te,
de
p
v
tout
,
e
général
naturellemen
faible
toute
de
t
c
de
et
apparaissen
égard
toute
ab
ts
le
v
vid.
corps
1.4
e
p
bres
e
con
'utilisation
n
particulier
n
t
in
éloignée
Deux
ce
de
conjectures
idéal
tes.
dulo
ulées
de
est
Cette
[DP07]).
té,
s
d'une
cours
roprié
d'une
de
ce
bi
écrit
conn
ra
sur
de
corps
ail,
(v
un
[IR80],
in
osition
bremen
a
duira
analo
cette
satisfaisan
constan
sur
et
courb
tai
elliptiques
our
our
ce
pre-
argume
de
onne
de
s
cette
on
dans
suiv
minim
on
P
p
ordinaire,
-adique
n'y
résultat
pas
Ce
ramication
ne
;
dép
le
endan
des
t
sup
que
on
de
remplacer
égaux.
de
t
ende
son
sur
ts
oir
.
2.4.1).
Le
s'attend
c
à
hoix
que
des
résultat
paramè
u
t
5
La
fonction
X
2
C (A) (A;L)L
A
c ;:::;c (A;L)1 21
C (A;L)0
c 1i 21 C (A)i L
C0
p
A K PA
A p
p A p2PA
p p
vjp
1=p
j 1j p :v
21=p 1=p
A A p OK
p
pl'un
par
oin
nius
m
enius
cie
Remarques
ecteurs
o
tielle
des
dinair
de
ec
VI
i
que
L
de
ensuite
algèbre
raison
.

la
2.2
ar
Un
t
b
n
p
et
ation
ec
une
e
er
sur
.
tation
:
puissance
omp
app
ave
arrière
Soit
t
de
la
est
matrice
v
ienne.
ceci
e
(i.e.
i
,
an
Cartier)
neutr
ni
d'inversion
in
isogénie

.
morphisme
la
t
,
(de
a
entier
Lemme
,
ation
.
app
étan
u
ang
fonction
réduit
et
p
e
lév
le
de
a
.
ts
e
c
par
le
table
en
l'action
de
ariété
inséparable,
sur
l
a
sont
ar
dié
de
in
v
généralemen
d'un
,
e
à
group
linéaire
les
est
group
une
els
à
en
v
I
e
oup
dite
sur
suiv
multiplic
.
r
-algèbre
est
duit
t
idéa
).
t
isogénie
est
de
F
ultiplicati
On
sur
qu'on
note
.
.
Sur
oir
com
A.4)
le
Il
est
génie

une
premi
ui
On
e
e
h
l'iden
tel
osition
Hasse-Witt,
top
de
group
plus,
un
sont
v
de
et
sens
en
on
à
la
gr
,
sur

est
:
n
v
une
de
élémen
ectoriel
rang
:
tiré
Lie
dual
e.
on
sc
sc
le
F
rob
ce
puremen
enius
degré
son
est
ec
c
p
i
.
l'isogénie
ec
et
ce
e
élienne
;
est
ersible.
Hasse-Witt
relier
ab

-torsion
tielle
2.1
:
explicité
am
de
la
héma
enius
du
2.2).
ome
e
vériant
est
hémas
ication
On
à
quelques
déni
la
un
sc
la
es,
ni)
[Mum74],
ariété
Dénition
corps
en
est
e
yp
un
or
muni
élienne
phisme
e
d'un
de
d'un
On
o
l
enius
tro
une
,
puremen
mai
inséparable
an
degré
tenan
de
une
Cette
le
nous
d'un
ermet
de
factoriser
(où
m
rob
on
d'une
itérée
relatif,
-ème
Sp
qu'on
notera
(
ultiplication
dériv
.
On
Cet
(v
Sp
[DG70],
un
I
dual
:
ane
2.2
dénit
existe
d'une
iso
on
la
app
dériv
n
à
xe
asso
t
,

elé
comme
V
Prop
sc
t
ieb
-r
ng,
tité
le
er
q
l'espace
de
de
la
ologique
unie
2.1
De
à
m
.
est
p
duales
par
e
t
l'autr
Le
au
l'é
suivant
e
si
ation
note
-rang
el
la
duale
et
et
).
on
héma
une
de
c
oup
osition
O
par
aussi
arian
note
in
our
v
t
hamps
elé
des
un
v
de
c
le
-espace
s
est
en
de
v
Son
de
group
de
héma
par
un
le
Comme
du
dualité.
(en
F
r
e
ariété
est
b
t
de
le
ultiplicati
séparable
des
anoniques.
Sp
éga
lien
à
m
somorphismes
ab
Si
sous
les
v
,
P
et
oints
séparable
construction,
sa
la
r
sc
n
paragraphe
en
ma
est
de
v
une
On
unissan
eut
ariété
plus
de
t
él
à
d'augmen
diéren
Dénition
de
,
en
L
;
sur
nous
morphisme
ène
infr
étudier
F
structure
sc
ob
en
,
e
:
sous-group
en
s
et
axi
S'il
de
additiv
.
sur
Sc
-linéaire
en
égal
e
appl
fait
isomorphe
ci
est
rapp
de
sur
p
théorie
le
hémas
Le
-rang
ab
et
dénie
m
a
r
de
l'élévation
group
à
suiv
la
t
puissan
I
c
I.
e
2.2
C'est
schéma
sur
gr
le
e
fai
sur
sc
est
e
schéma
au
élément
structur
d'un
al.
or
On
de
v
ation
érie
et
que
morphisme
le
,
F
6
morphisme
2.1
p
p A
F k :=Fq p
A[p] p F (Z=pZ) 0p
g p A
p A A
A g A
F (k)
F p
(p)k A A F (k)
(p)F :A!A :
p
gp
p A [p]
(p)V : A ! A [p] = VF
bV F A A
[p] =V Fb b bA A A
b bV =F et F =V :b bA A
V
p = g V 0
V 0
A[p] A
G k k
m : GG! G i : G! G
e : Spec(k)!G
m (m Id ) =m (Id m) :GGG!G;G G
m (e Id ) =j : Spec(k)G!G;G 1
m (Id e) =j :G Spec(k)!G;G 2
e =m (Id i) =m (i Id ) :G!GG G
:G! Spec(k) j : Spec(k)G’G j :G Spec(k)1 2
G k
m D
pD p D Fp
bF G Gp
(R) R k R Rplus
es,
2.3
que
de
téresse
a
alors
fonctions
que
t
e
Ÿ14).
qui
sur
est
est
Ÿ22.
seul
héma
.
notan
tité
à
la
par
e
our
ten
est
dual
e
réduites
)
y
en
(
Le
t
Plus
détails,
t
e
gr
t
:
est
par
prenan
réduit).
.
le
que
que
,
on
pu
notan
dériv
de
c
la
ls,
structures
y
:
sc
de
e
es
prenan
sc
utatif.
d
yp
e
yp
au
cale
143
t
:
puissance
main
oten
exemple
t
P
hém
p
isomorphisme
et
en
lo
limite
en
(resp.
hémas
n
group
qu'ell
aluation
la
,
de
isomorphe
et
on
Hasse-
duale
de
comme
plus,
Lie
observ
t
de
à
est
l
o
e
cardinal
De
.
de
.
de
entiel
de
.
si
de
oir
group
et
osition
our
et
t
et
en
diéren
e
t
comme
osan
et
ces
nous
en
un
comme
le
du
de
de
En
tre
l'espace
no
trivial
l'isogénie
te
.f.[Mum74],
partie
,
d
décomp
cardinal
le
c
e
à
p
constitué
Ÿ16
é
oir
décomp
plus
Prop
à
t
l
a
un
façon
tier
schémas
s
oin
group
es
e
pro
es
s
L'algèbre
:
ciée
sur
,
est
algèbre
donc
et,
par
Remarque
ultipl
.
,
suit
linéaire
v
en
duale
observ
:
est
t
te
page
dit
est
-r
en
fonction
a
,
.
yp
on
e
De
est
arier

erm
e
de
,
faisan
t
s
de
une
a
yp
,
e
y
ation
son
(resp.
L
la
en
ale.
le
(p
Preuv
ni
Soit
plus
diér
cale-lo
Soit
détai
Compte
t
u
v
s
lo
de
[Mum74],
es
est
2.4
P
Prop
de
-rang
le
du
p
le
héma
en
yp
tielle
group
,
comm
donnen
base
l
partie
comp
t
tes
l'isomorphisme
de
qui
deux
la
hémas
in
group
tenan
et
ici,
le
est
ual
t
no
si
au
e
l'isogéni
t
la
:
en
On
le
est
y
e
de
car
duale
sous-jacen
c
lo
page
.
)
la
on
sc
la
de
osition
s
lien
une
faire
est
nan
de
t
héma
eut
.
On
i
et
pr
[Pin04],
se
par
cisémen
v
d'un
de
:
our
ose
comprendre.
osition
diciles
ose
es
On
t
de
our
l'
certain
p
n
de
son
unique
un
en
c
que
en
oup
e
un
cal
:
yp
t
de
e
group
duit
.
On
de
a
asso
Lie
à
nilp
sc
ulle
Les
si
son
est
de
e
e
,
en
est
t
ication
l'év
alors
en
m
t
est
en
est
résultat
sur
on
l'application
oit
que
l'algèbre
e
est
l'iden
à
on
Le
On
:

obtien
Witt
132),
est
(c.f.[Mum74],
t
isomorphe
précéden
de
de
On
ang
déduit
que
:
osition
l
la
Mais
prop
:
group
obtien
dans
.
plus,
supp
main
Lie
e
canonique
yp
t
En
de
et
algèbres
son
aux
p
passe
utés
On
passage
e
v
Preuv
t
.
et
de
i
ang
qu'i
r
existe
et
isogénie
le
:
est
n
de
au,
ang
en
-r
t
e
le
est
de
de
no
typ
7
On
G G
l r G
bG (x;y) G x G y G
G =G G G G ;r;r r;l l;r l;l
G (x;y)x;y
A[p] G A[p]r;r
p
A[p]’ (Z=pZ) ( ) A[p] ;p l;l

p p A = Spec k[X]=(X 1) A[p] (l;l)p l;l
n \ nn2N A[p ] A[p ]
[p]

n n n\ nA[p ]’ (Z=p Z) (Z=p Z) A[p ] ;l;l
n A[p ]l;l
nZ=p Z X
n12Z=p Z
npSpec k[X]=(X 1) :
\ n bZ=p Z’ n A Ap
bf :A!A K
n n n n bf(A[p ])A[p ] donc p Kp :
bn

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