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Les espaces de Banach constituent le cadre privilegie de la majeure partie des analystes en particulier la norme permet de quantifier la “taille” des elements et de proceder a des estimations

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CHAPITRE II Interpolation Les espaces de Banach constituent le cadre privilegie de la majeure partie des analystes ; en particulier, la norme permet de quantifier la “taille” des elements, et de proceder a des estimations. L'interpolation entre espaces de Banach fait partie de la trousse a outils developpee pour faciliter les calculs dans ce contexte. Imaginee pour la premiere fois par M. Riesz en 1926, la theorie de l'interpolation a pris son essor en 1939, quand Thorin d'une part, Marcinkiewicz d'autre part, mirent au point les demonstrations des deux theoremes emblematiques de l'interpolation ; ces theoremes allaient ouvrir la voie, l'un a l'interpolation complexe, et l'autre a l'interpolation reelle, methodes developpees principalement dans les annees 50 et 60 par Stein, Zygmund, Calderon, Lions, Peetre, et qui font aujourd'hui partie du bagage courant des analystes. Sommaire II-1. Introduction 33 1.1. Motivations 33 1.2. Definitions 34 II-2. Interpolation complexe 36 2.1. Theoreme de Riesz-Thorin 36 2.2. Interpolation complexe abstraite 41 2.3. Extrait du catalogue d'interpolation complexe 43 2.4. Exemples d'identification d'espace interpole 44 2.5. Applications 44 II-3. Interpolation reelle 45 3.1. Theoreme de Marcinkiewicz 45 3.2. Interpolation reelle abstraite 47 3.3. Extrait du catalogue d'interpolation reelle 51 3.4. Un exemple d'identification d'espace interpole 52 3.5.

  • representation de la norme par dualite

  • interpolation reelle abstraite

  • dualite entre espaces lp

  • familles d'espaces de banach dependant

  • interpolation

  • theoreme de riesz-thorin

  • lineaire continue

  • interpolation complexe


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CHAPITRE II
Interpolation
LesespacesdeBanachconstituentlecadreprivil´egi´edelamajeurepartiedes analystes;enparticulier,lanormepermetdequantierlatailledes´el´ements,et deproce´dera`desestimations. LinterpolationentreespacesdeBanachfaitpartiedelatrousse`aoutilsd´evelopp´ee pourfaciliterlescalculsdanscecontexte.Imagine´epourlapremi`erefoisparM.Riesz en1926,lath´eoriedelinterpolationaprissonessoren1939,quandThorindune part,Marcinkiewiczdautrepart,mirentaupointlesde´monstrationsdesdeux the´ore`mesemble´matiquesdelinterpolation;cesthe´ore`mesallaientouvrirlavoie, l`linterpolationcomplexe,etlautre`alinterpolationr´eelle,m´ethodesde´veloppe´es un a principalementdanslesanne´es50et60parStein,Zygmund,Calder´on,Lions,Peetre, et qui font aujourd’hui partie du bagage courant des analystes. Sommaire II-1. Introduction 1.1. Motivations 1.2.D´enitions II-2. Interpolation complexe 2.1.Th´eor`emedeRiesz-Thorin 2.2. Interpolation complexe abstraite 2.3. Extrait du catalogue d’interpolation complexe 2.4.Exemplesdidenticationdespaceinterpol´e 2.5. Applications II-3.Interpolationr´eelle 3.1.The´ore`medeMarcinkiewicz 3.2.Interpolationr´eelleabstraite 3.3.Extraitducataloguedinterpolationr´eelle 3.4.Unexempledidenticationdespaceinterpole´ 3.5. Applications Re´f´nces ere
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II-1. Introduction 1.1. Motivations. Le but principal de l’interpolation est de construire des re-cettes permettant des court-circuits dans des estimations fastidieuses, qui font inter-venirsoitdesop´erateursline´airescompliqu´es(transforme´edeFourier,operateursso-´ lutionsdecertainesequationsauxd´eriv´eespartielles...),soitdesespacescompliqu´es ´ (parexempleespacesdeBanach`avaleursvectorielles,telsque W 1 p ( R n ; L q ( R k ))). Lide´eessentielleestquelonpeutobtenirdesrenseignementssurdesespacesou desope´rateursinterm´ediairesenfonctionderenseignementssurdesespacesou
43CHAPITREII(13octobre2004)
ope´rateursextr´emaux;pourcomprendreceprincipeparuneanalogiee´l´ementaire, remarquons que l’on peut estimer les valeurs prises par une fonction convexe sur un segment [ a b ] R , par la seule connaissance des valeurs de cette fonction en a et b . Nous ne parlerons ici que d’interpolation lin´eaire ,th´eorielaplusd´evelopp´eeet laplusutilis´ee.Ilexistecependantdestechniquesdinterpolationmultilin´eaire,et meˆmedestechniquesdinterpolationencoreplusge´ne´rale,cependantdusagepeu commode. Linterpolationnedoitpasˆetreconsidereecommeunepanac´ee:cestunetech-´ ´ niquetre`scommodeetassezuniverselle,maisquelquepeumolle;ilestrareque lonarrivea`desre´sultatsoptimaux(enparticulierauniveaudesconstantesinterve-nantdansdesin´egalite´sdecontinuite´)parcettetechnique.Nousverronsquelques exemplesconrmantcetter`egle. 1.2.De´nitions. Il est intuitif que les espaces L p (Ω) de Lebesgue pour p 0 p p 1 se situent “entre L p 0 et L p 1 .Danslecasou`Ωaunemesurenie,cestclair puisque les espaces L p formentunefamilled´ecroissanteenleparam`etre p ; mais commentformalisercetteide´edanslecasge´n´eral?Lamˆemequestionsepet` os res souventdemanie`renaturellequandonconsid`eredesfamillesdespacesdeBanach de´pendantdunoudeplusieursparam`etresre´els. Ilsav`erequelonpeut,demani`eretr`esg´ene´rale,de´nirdesespacesdeBanach situ´esentredeuxespacesextreˆmesarbitraires,memesilsnefontpasapriori ˆ partiedunefamilleparame´tr´ ee. De´finition II-1 (couple d’interpolation) . On dit que deux espaces de Banach X et Y formentuncoupledinterpolationsitousdeuxsinjectentcontinuˆmentdans unmeˆmeespacevectorieltopologique(se´pare´) V . Exemple II-2 . TouslesespacesdeBanachc´el`ebresquenousavonsrencont´s re danslechapitrepr´ec´edentsinjectentcontinˆumentdanslespacedesdistributions, quenous´etudieronsauchapitresuivant. L’espace V apparaissantdanslaD´enitionII-1importepeu;sonexistencesert uniquementa`garantirlapossibilite´dede´nirlespacesomme X + Y , cadre naturel delathe´oriedelinterpolation.Uneconse´quencedelapropositionsuivanteestque lonpeuttoujours,sanspertede´´lit´e,choisir V = X + Y . genera Proposition II-3 (espaces intersection et somme) . Soient X et Y des espaces de Banach formant un couple d’interpolation. Alors X Y et X + Y sont des espaces de Banach si on les munit des normes respectives k v k X Y = max( k v k X k v k Y ) k v k X + Y = inf ( k x k X + x + y = v k y k Y ) De plus X Y sinjectecontinˆumentdans X et Y ,quieux-meˆmessinjectentcontinˆument dans X + Y . De´monstration. Ilestfaciledeve´rierquelesespacesainside´nissontbien desespacesvectorielsnorm´es;restea`montrerleurcompl´etude.Pourlespace X Y , c’est clair : l’intersection de deux espaces complets est un espace complet. En ce qui concerne l’espace X + Y ,onpeutremarquerquilsidentie`a( X × Y ) D ,