Les matrices – Calcul matriciel BTS IG prem année sept 06 A ...

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Extrait

Les matrices – Calcul matriciel

BTS IG prem année sept 06

A ) Introduction de la notion de matrice: A quoi servent elle ?

Matrices et graphes :

On peut traduire les liaisons existantes entre les points

numérotés de 1 à 6 par un tableau de nombres.

On utilise pour cela ce qu’on appelle la

matrice associée à ce

graphe

d'ordre

6

dont les sommets sont numérotés de 1 à

6

est

une matrice symétrique, de dimension

6×6

, où le terme à

l'intersection de la

i

-ème ligne et de la

j

-ème colonne vaut

k

,

nombre d'arêtes reliant

i

et

j

.

La matrice 6 ×6 ci-dessus est la matrice associée au graphe; elle ne contient que des 0 et des 1 puisque deux sommets

quelconques de ce graphes sont au plus reliés par une arête.

On étudiera la théorie des graphes par la suite et les matrices nous seront utiles.

Matrices et informatique

Une matrice est un outil mathématique utilisé dans

beaucoup de domaines dont la 3D. On peut les

représenter comme un tableau en deux dimensions

contenant des valeurs scalaires (entières, réelles ou

complexes).

On peut réaliser sur les matrices des opérations

proches de celles que l'on applique sur les

nombres réels comme l'addition, la soustraction, la

multiplication ou l'inversion. Cependant à cause

de leur nature plus complexe certaines de ces

opérations peuvent être définies de plusieurs

façons différentes. Par exemple la multiplication

peut être membre à membre ou utiliser une

formule qui multiplie les lignes de l'une contre les

colonnes de l'autre.

Une matrice avec M lignes et N colonnes est

appelée une matrice MxN.

Les éléments d'une matrice peuvent être

référencés à l'aide de deux valeurs d'index. La

notation mathématique "classique" les assigne aux

variables 'i' (lignes) et 'j' (colonnes).

Par exemple, si l'on considère une matrice de

taille 4x4, alors les éléments de la matrice sont

indéxés par les couples lignes|colonnes

:

L'élément en haut à droite de la matrice, à i = 0 et j = 3, est identifié comme suit : M

i,j

= M

0,3

Une matrice n'est pas seulement un tableau de valeurs mais elle représente une transformation d'un espace de départ vers

un espace d'arrivée. Si par exemple, on a un vecteur colonne à deux dimensions, alors on peut définir le vecteur colonne

transformé dans un espace à trois dimensions comme la multiplication d'une matrice 2x3 par ce vecteur colonne (pour la

multiplication on peut considérer le vecteur colonne comme une matrice 1x2). Une telle transformation est appelée

linéaire parce qu'elle respecte certaines propriétés comme la conservation des facteurs d'échelle (et a un point fixe qui est

l'origine).