Mathématiques Appliquées Générales Cours 1: Généralités

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Mathématiques Appliquées Générales Olivier DAZEL Université du Maine - Faculté des Sciences Laboratoire d'Acoustique de l'Université du Maine UMR CNRS 6613 Cours 1: Généralités 1 UEO AM01A-1
  • dénombrable ¶
  • faculté des sciences laboratoire d'acoustique de l'université
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  • espace vectoriels
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UEO AM01A-1
Mathématiques Appliquées Générales
Cours 1: Généralités
Olivier DAZEL
olivier.dazel@univ-lemans.fr
Université du Maine - Faculté des Sciences
Laboratoire d’Acoustique de l’Université du Maine
UMR CNRS 6613
1Avant toute chose ….
La notion de dimension
Le plan (tableau) est de dimension 2•
L’espace physique de dimension 3•
A partir de 2 (3) vecteurs, on peut «obtenir» tous les autres
«Obtenir»: on utilise la multiplication par un scalaire
Cardinal d’un ensemble: «Taille» de l’ensemble
Dimension finie •
Dénombrable•
Infini non dénombrable•
2Plan du cours
Rappel sur les notions de base du cours de L
Espace vectoriel / Base•
Application linéaire / Matrice / Système linéaire•
Polynômes •
Norme / Produit scalaire •
Déterminant•
Limites des suites numériques et de fonctions•
Equations différentielles•
3Espace vectoriel
Un espace vectoriel est composé de 2 ensembles et de 2 lois
Un ensemble de vecteurs E (groupe abélien)•
Un ensemble de scalaires (corps: )K R ou C•
Une loi d’addition entre les vecteurs•
u ,u ∈ E, u +u1 2 1 2
Une loi de composition externe (multiplication •
scalaire/vecteur)
u∈ E, λ∈ K, λ.u
4Espace vectoriel
Une définition à l’aide de CNS
E est un K-espace vectoriel ssi
• ∀x,y ∈ E, x+y ∈ E
• ∀x∈ E, ∀λ∈ K, λx∈ E
Exemples:
Les vecteurs du plan, de l’espace (réel)•
Les fonctions continues sur [a;b] à valeurs complexes•
Les polynômes de degré inférieur à 2 •
5Application linéaire
Définition: Application f :E−→F
• ∀x,y ∈ E, f(x+y)= f(x)+f(y)
• ∀x∈ E, ∀λ∈ K,f(λx)=λf(x)
La physique en petites déformations est linéaire
La somme des réponses est la réponse de la somme•
La réponse est proportionnelle à l’excitation•
f(0) = 0Elles vérifient toutes:
Une application est dite affine si:
g(x)= g +f(x)0
linéaire
6Application linéaire: exemples
La terre est plate•
Système masse ressort (Analogie électrique: RLC)•
mx¨(t)+cx˙(t)+kx(t)= f(t)
7Application linéaire: exemples
La terre est plate•
Système masse ressort (Analogie électrique: RLC)•
￿ ￿
1 jωt jωtˆ ˆR+jLω+ Ie =Ve
jCω
7Application linéaire: exemples
La terre est plate•
Système masse ressort (Analogie électrique: RLC)•
Milieux continus élastiques :Loi de Hooke•
σ = λ∇.uδ +2µεij ij ij
9 3σ ∈ R , u∈ Rij
∂u ∂u ∂ux y z
∇.u= + +
∂x ∂y ∂z￿ ￿
1 ∂u ∂ui j
ε = +ij
2 ∂x ∂xj i
7Application linéaire: exemples
La terre est plate•
Système masse ressort (Analogie électrique: RLC)•
Milieux continus élastiques :Loi de Hooke•
Traitement du signal: transformée de Fourier•
￿
−iωtF(f)(ω)= e f(t)dµ(t)
R
7