Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre Calcul matriciel et algebre lineaire

Michael Eisermann

Description

Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre 9 : Calcul matriciel et algebre lineaire Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Annee 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours _ mao Document mis a jour le 6 juillet 2009 1/56

• reduction des endomorphismes espaces vectoriels


• methode des iterations inverses


• calcul de la solution


• mathematiques assistees par ordinateur chapitre


• systeme d'equations lineaires


• algorithme de gauss calcul matriciel

Sujets

• Google
• Système d'équations linéaires
• multiplication
• exercice
• cours
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Extrait

Math ´ ematiquesassist ´ eesparordinateur Chapitre9:Calculmatricieletalg ` ebrelin ´ eaire

Michael Eisermann

Mat249, DLST L2S4, Anne´  e 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours # mao Document mis a` jour le 6 juillet 2009

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Sommaire

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R ´ esolutiondesyste ` mesd’ ´ equationslin ´ eaires Syste` mes d’e´  quations  line´  aires, l’algorithme de Gauss Calcul matriciel : addition, multiplication, inversion, de´  terminant Stabilite ´ num ´ erique,conditionnementd’unematrice

Re´ duction  des endomorphismes Espacesvectorielsetapplicationslin ´ eaires Vecteurs propres, polynome caracte´  ristique ˆ Polynomeminimal,m ´ ethodesdecalcul ˆ

Me ´ thodesapproche ´ esit ´ eratives La methode de la puissance ´ Lam ´ ethodedesite ´ rationsinverses Matrices hermitiennes et syme´  triques

Comment fonctionne Google ? Comment mesurer l’importance d’une page web ? Le mode`  le  PageRank : marche ale´  atoire sur le web Existence, unicite´  , et calcul de la solution

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§1.

Syst ` emesd’ ´ equationslin ´ eaires Dans la suite nous fixons un corpsK(par exempleQ,R, ouC). Nous souhaitons re´  soudre un  line´  aires syste` me  quations  d’e´ :  a 11 x 1 +a 12 x 2 +∙ ∙ ∙+a 1n x n =y 1   a 21 x 1 +a 22 x 2 +∙ ∙ ∙+a 2n x n =y 2

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.   a m1 x 1 +a m2 x 2 +∙ ∙ ∙+a mn x n =y m

Ici les coefficientsa ij ∈Kety i ∈Knndontsos. ´ e L’objectif est de trouver toutes les solutionsx i ∈K.

On ´ ecritcesyste ` meplussuccinctementcommeA` x=you  a a 21 11 a a 2 1 2 2 a a ... ... 1 2 n n   x x 1 2   y y 1 2     .. .  A= a m1 a m2 . . . a mn  , x=   x . n   , y=   y . m   .

Cette structuration est bien plus qu’une notation commode : ⇒Programmes = structure de  don ´  s + algorithmes ! s nee ⇒ . . Calcul matriciel : addition, multiplication, inverse, de´  terminant, .

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Matricestriangulaireset ´ echelonn ´ ees Oncherche ` are ´ soudreunsyst ` emed’ ´ equationsline ´ airesAx=y. SiAesttriangulaireffisuertdonemr.teile:atdi ´ emmtiesnoitulosal,  1 0 ∗ 1 ∗∗ ∗∗   1 0 0 0   1 000 00∗ 1   voireA=   100 0 0 001 0 0 10    . A= us ge: Pl ´ ene ´ ralementlasolutionestfacilesiAest ´ cenne ´ ehol  1 0 ∗ 0 ∗ 1 ∗∗∗∗ ∗∗∗∗   00 1∗ 01 00 ∗∗ ∗∗ 0 0  A  0 0 1= 0∗ ∗ ∗ voireA  0 0 1= 0∗ ∗0 .   00000 000010 00 0     0000000 0100000   Danscetexemplel’ ´ equationAx=yn’a pas de solution siy 5 6= 0. Siy 5 = 0, les solutionsxtelles queAx=yforment un sous-espace affine deK 7 de dimension3: on peut choisirx 2 , x 5 , x 6 arbitrairement, les valeursx 7 , x 4 , x 3 , x 1 s’en de´  duisent en remontant. « Solution ge´ ne´ rale = solution particulie`  re  + solutions homoge`  nes.» §1.1 4/56

§.1

Ope´ rations  elementaires ´ ´ Objectif :formsousheloe ´ ectteremeen ´ onenuee ´ nndecirtam a 11 . . A=   .a a 1 n n m    =    L L . 1 m    .  a m . 1 . . . .

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Pour ceci on effectue desaintme ´ eels ´ ontiserpoe ´ arsur les lignes : L i ↔L j erlahang ´ eceilngiet la lignej, L i ←λL i multiplier la ligneipar un facteur inversibleλ, L i ←L i +λL j ajouter un multiple de la lignejal ` neigali.

` Anoterquechacunedecesop ´ erationsestinversible! Ainsi on les appelle aussi transformations d’e´  quivalence.

Pourr ´ esoudreAx=ynsiorsup ´ soatereftceuecnofe(A|y): c’est la matriceAagrandie en accolant le vecteur colonney. Lefaitquenosop ´ erationstransformant(A|y)en(A 0 |y 0 )soient inversiblesgarantitquelessyst ` emeslin ´ eairesAx=yetA 0 x=y 0 ontexactementlesm ˆ emessolutions.

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