Mathématiques B30: Les matrices; Module de l'élève - Mathématiques B30

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Mathématiques B30: Les matrices; Module de l'élève - Mathématiques B30

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• mathématiques
• mathématique

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• Publié par: abubidur
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• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

 2002

Mathématiques B30

Les matrices

Module de lélève

Mathématiques B30

Les matrices

 Module de l élève

Bureau de la minorité de langue officielle

2002

 

Liste des objectifs du programme d'études de Mathématiques B30 Objectifs généraux Lélève sera capable de:  Illustrer des situations pertinentes tirées de la vie courante à laide de matrices Démontrer une connaissance des termes associés aux matrices Acquérir des habiletés concernant les opérations sur les matrices et la résolution de problèmes tirés de la vie courante qui leur sont associés Objectifs spécifiques Lélève sera capable de: C.1 Définir les termes essentiels associés aux matrices C.2 Créer une matrice pour illustrer une situation donnée C.3 Additionner et soustraire des matrices C.4 Additionner et soustraire des matrices à l'aide de la multiplication scalaire C.5 Multiplier deux matrices qui ne sont pas plus grandes que 3 × 3 C.6 Déterminer les propriétés des matrices en ce qui a trait à l'addition, la multiplication scalaire et la multiplication C.7 Utiliser des opérations sur les rangées avec les matrices C.8 Déterminer l'inverse d'une matrice (2 × 2) C.9 Résoudre des matrices sous forme d'équations à l'aide de la multiplication par l'inverse de la matrice (résoudre les matrices d'ordre supérieur à 2 à l'aide de la technologie)

Remerciements Ce module contient en partie des exercices et des exemples adaptés, avec permission, du document de B. Thiessen (Mathematics B 30, Saskatoon Public School Division, 1999).

P.ii Mathématiques B30 - Matrices -

1. Introduction En 1858, Arthur Cayley (1821-1895), un mathématicien anglais, utilise pour la première fois la notation matricielle. Cayley suggérait que cette notation simplifiait les systèmes d'équations linéaires. Cette pratique a par la suite été popularisée par le physicien Werner Heisenberg au milieu des années 1920. Aujourd'hui, les matrices sont souvent utilisées dans des domaines tels que l'administration, la psychologie, la génétique, les statistiques et l'économie. Avant d'étudier les opérations associées aux matrices, débutons par l'identification et la définition des termes associés aux matrices.

2. Nomenclature  2.1 Définition d une matrice Nous utilisons souvent les tableaux dans la vie quotidienne. Par exemple, on peut résumer l'information concernant les meilleurs marqueurs de lhistoire du Canadien de Montréal dans un tableau. Joueur Parties jouées Buts Aides Points Guy Lafleur 961 518 728 1246 Jean Béliveau 1125 507 712 1219 Henri Richard 1256 358 688 1046 Maurice Richard 978 544 421 965 Larry Robinson 1202 197 686 883

Les matrices sont en quelque sorte des tableaux avec des colonnes, des rangées (lignes) et des éléments. On définit doncune matrice comme étant un tableau rectangulaire de nombres. La notation matricielle utilise des crochets ou des parenthèses (les crochets sont les plus utilisés). Par exemple, on peut définir une matrice pour représenter les statistiques des meilleurs marqueurs du Canadien de la façon suivante :    518169 9121271075512 6 1 248172     046    18868536521 987454412695     883 6861202 197 

P.1 Mathématiques B30 - Matrices -

2.2 Éléments d'une matrice On peut représenter une matrice en utilisant une lettre majuscule et des lettres minuscules affectées d'indices pour leséléments de la matrice.  Les éléments de la matrice sont les nombres figurant dans la matrice. Par exemple,   a 11 12 a 21 22 a 23 31 a 24 41    A      a a 31 a a 32 a a 33 a a 34    a 41 a 42 a 43 a 44 2.3 Lignes et colonnes d'une matrice Uneligne ou une rangéereprésente les éléments situés sur une même horizontale. On appelle aussi unecolonnel'ensemble des éléments situés sur une même verticale. L'élémenta 34 représente le nombre situé sur la 3 e ligne et sur la 4ecolonne. Exemple 1 :Soit la matrice suivante. 1 2 3 4    3 6 7 2    5 5 9 1   4 8 3 9     a) Écris les éléments de la deuxième ligne. b) Écris les éléments de la quatrième colonne. c) Quel est l'élément a 24 . Solution : a) Les éléments de la deuxième ligne sont 3, 6, 7 et 2 b) Les éléments de la quatrième colonne sont 4, 2, 1 et 9. c) L'élément a 24 2 .

P.2 - Mathématiques B30 - Matrices

Solut

2.4 Matrice réelle et matrice nulle Une matrice réelle possède des éléments qui sont tous des nombres réels. Une matrice nulle (ou matrice zéro) possède des éléments qui sont tous    0 0    nuls. On la note par 0. Par exemple, la matrice nulle 0 2  2  0 0 . Exemple 2 : les matrices suivantes, identifie celles qui sont réelles. Parmi C    63 55 24  7 4 0 1 1 0            4  8 1 93 

ion: Cn'est pas une matrice réelle car l'élément  7 n'est pas un nombre réel. Aest une matrice réelle Zn'est pas une matrice parce quelle nest pas rectangulaire. 2.5  Dimensions d'une matrice Les dimensions d'une matrice correspondent au nombre de lignes et au nombre de colonnes qu'elle possède. Par exemple, on dit que la matriceA est une matrice de dimensionmparnqu'on indique par(mx  n)oùmdénote le nombre de rangées etn Ainsi,le nombre de colonnes.A= [a ij ] ( m x n ) , oùi etjreprésentent la rangée et la colonne dun élément a utilise parfois le terme Onparticulier à la matrice. «ordre» comme synonyme de dimensions.

P.3 - Mathématiques B30 - Matrices

Exemple 3 :Quelles sont les dimensions des matrices ci-dessous?

Solution :Aest une matrice 3 par 4;A (3 x 4) Best une matrice 4 par 4;B (4 x 4).  Lorsque  m=n, on dit que la matrice estcarrée. Cest une matrice 3 par 1;C (3 x 1) . On la nomme aussi unematrice colonne. Dest une matrice 1 par 4;D (1 x 4)  la nomme aussi. Onmatrice ligne.

2.6 Diagonale principale Lorsqu'une matrice estcarrée, on peut définir sa diagonale principale. Par exemple, soitA= [a ij ] (m x n) . A a 21 a 22 a 23 a 24       a 11 a 12 a 13 a 14       a 31 a 32 a 33 a 34  a 41 a 42 a 43 a 44 a 11 ,a 22 ,a 33 et  a 44 sont les éléments qui composent la diagonale principale deA.

P.4 - Mathématiques B30 - Matrices