Mathématiques CHAPITRE III DIAGONALISATION et ...

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Universite de Bourgogne Annee 2011-2012 L3SFA-L3 Mecanique: Mathematiques CHAPITRE III DIAGONALISATION et TRIGONALISATION DES ENDOMORPHISMES K designe dans tout ce chapitre le corps des reels R ou des complexes C. E designe un espace vectoriel de dimension n sur K et soit B = (e1,e2, ..,en) une base de E . Soit f un endomorphisme de E et A f sa matrice dans la base B. Le but de ce chapitre est d'essayer de selectionner ”une bonne base” de fac¸on que la matrice de f dans cette derniere soit la ”plus simple possible”, c'est-a-dire avec beaucoup

• diagonale repond au theoreme precedent
• racines du polynome caracteristique
• superieure
• ordre de multiplicite
• polynome caracteristique
• matrice triangulaire
• theoreme
• matrices
• matrice
• base
• bases

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• mathématiques
• mathématique

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Universit ´ edeBourgogne

L3SFA-L3M ´ ecanique:Mathe ´ matiques

CHAPITRE III DIAGONALISATION et TRIGONALISATION DES ENDOMORPHISMES

Anne´e 2011-2012

Kgienadsn´dseapitreletoutcechee´rslprocsedsRou des complexesC.Eapecnusegien´dseimenldedorievectnoisnsur Ket soitB= (e 1 ,e 2 , ..,e n )une base deE. Soitfun endomorphisme deEetA f sa matrice dans la baseB. Le but de ce chapitre est d'essayer de se´lectionner ”une bonne base” de fac¸on que la matrice defre`eitsoedttnieradecsnsible”,milppesoalp”ulss c'est-`a-direavecbeaucoupdecoefficientsnuls.Lapremi`ereformeenvisag´eeestdoncunematricediagonale,soitunematrice dont tous les coefficients hors la diagonale principale sont nuls. On va d'abord de´gager les outils ne´cessaires avant d e donner des the´ore`mesd'existencedetellerepr´esentationmatricielledef.

•oitatoN..sn ´ e:Desprnsioitfinorpsserpcev,ruetceparospou,sess-spropresIValeur

E est un espace sur K de dimensionnetfest un endomorphisme de E. 1. Rappels: D´efinition:Deuxmatricescarr´eesAetBd'ordrenmatricesont appele´es semblables (ou conjugue´es) s'il existe une carr´eed'ordreninversiblePtelle que : −1 B=P AP Alors:detB=detA. Toutes les matrices d'un endomophismefmˆemntleoncosetd,tninaetmrdee´dnadsf´ifenerbaessdselbmeelbassetstno appele´det(f). 2. Valeurpropre: Un e´le´ment deK, l ppel´e,seatune valeur propredefsi et seulement s' il existe un vecteur non nulvde E tel que f(v) = l v.

3. Vecteurpropre et sous- espace propre: (a) Soit l une valeur propre defvecteur. Unvv´erifiantf(v) = l vseatpple´eun vecteur propredefrelatif a` la valeur propre l . l (b) SoitV l l'ensemble des vecteurs propres defrelatifs a` la valeur propre. Alors: l V l =Ker(f−I)deniioatde´eitnttseIu`ocilppa'lE. V l est donc un sous-espace deEppel´eleasous-espace propredefrelatif a` la valeur propre l def.

4.Proprie´tes´el´ementaires: l ll (a) valeurpropre def⇔ ∈KetV l 6={0∈} ⇔KetdimV l ≥1. (b) l valeur propre def⇔ l ∈KetKer(f− l I)6={0} ⇔ l ∈Ketdet(f− l I) =0.

5.Polynˆomecaracte´ristique: (a)D´efinition: P f (x) =det(f−xI)tuesolnpˆoyndemexde degre´n, appele´ le polynoˆ mecaracte´ristique def.