Maths1 LMDScienceset Techniques

Description

• cours - matière : mathématiques
• cours - matière : algèbre

Cours d'algèbre Maths1 LMD Sciences et Techniques Par M. Mechab

• anneaux quotients
• structure d'anneaux
• utilisateurs de mathématiques
• relations d'équivalence
• fondateur avec boole de la logique moderne
• négation ¬
• proposition logique
• propositions logiques
• implications
• implication
• table de vérités
• tables de vérité
• table de vérité

Sujets

• Mathématiques
• Algèbre
• Auguste
• Propriété
• Negation
• Logique
• Moderne
• Vérité
• Proposition
• Implication
• Relations

Informations

• Publié par: nechong
• Nombre de lectures: 75
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 2 Mo

Extrait

AntoineChambert-Loir
ALGÈBRECORPORELLEAntoineChambert Loir
E mail: [e-mail]
IRMAR,UniversitédeRennes1,CampusdeBeaulieu,35042RennesCedex.
CentredeMathématiques,Écolepolytechnique,91128PalaiseauCedex.
Versiondu22mars2004,13h35
UneversionàjourestdisponiblesurleWebàl’adressehttp://www.math.polytechnique.
fr/~chambert/teach/algebre.pdf— Il conviendrait donc, Glaucon, de prescrire cette étude par une loi,
et de persuader à ceux qui doivent remplir les plus hautes fonctions
publiquesdeselivreràlascienceducalcul,nonpassuperficiellement,
maisjusqu’àcequ’ilsarrivent,parlapureintelligence,àconnaîtrela
nature des nombres; et de cultiver cette science non pas pour la faire
servirauxmarchands,maispourl’appliqueràlaguerre,etpourfaci-
literlaconversiondel’âmedumondedelagénérationverslavéritéet
l’essence.
—Trèsbiendit. Platon,Larépublique,LivreVII
J’aifaitenanalyseplusieurschosesnouvelles.
ÉvaristeGalois,LettreàA.Chevalier(29mai1832)Tabledesmatières
Présentation ................................................................ vii
1. Extensionsdecorps ...................................................... 1
Constructionsàlarègleetaucompas,1; Corps,3; Extensionsdecorps,8;
Quelquesimpossibilitésclassiques,14; Fonctionssymétriquesdesracines,18;
Appendice:transcendancede e et π,20; Exercices,24.
2. «Maisoùsontmesracines?» ............................................ 29
Anneau des restes, 29; Extensions de décomposition, 32;
Corps algébriquement clos; clôture algébrique, 33; Appendice : structure
desanneauxdepolynômes,37; Appendice:anneauxquotients,40;
Appendice:théorèmedePuiseux,42; Exercices,46.
3. ThéoriedeGalois ........................................................ 51
Homomorphismesd’uneextensiondansuneclôturealgébrique,51;
Grouped’automorphismesd’uneextension,54; LegroupedeGaloiscomme
groupedepermutationsdesracines,59; Discriminant,résolvantes,63;
Corpsfinis,66; Exercices,68.
4. Unpeudethéoriedesgroupes ............................................ 75
Groupes(rappelsdedéfinitions),75; Sous-groupes,76; Opérationd’ungroupe
surunensemble,78; Sous-groupesdistingués,groupesquotients,79;
Groupesrésolubles,nilpotents,82; Groupesymétrique,alterné,85;
Groupesdematrices,89; Exercices,92.
5. Applications ............................................................ 97
Constructibilité à la règle et au compas, 97; Cyclotomie, 98;
Extensionscomposées,103; Extensionscycliques,106; Leséquationsdedegrés
inférieurà 4,108; Résolubilitéparradicaux,113; Comment(nepas)calculer
desgroupesdeGalois,117; SpécialisationdesgroupesdeGalois,120;
L’équationgénériqueetlethéorèmed’irréductibilitédeHilbert,127;
Exercices,133.vi TABLE DES MATIÈRES
6. Équationsdifférentielles ................................................139
Corps différentiels, 139; Extensions différentielles. Construction de
dérivations, 142; Équations différentielles, 146; Extensions de Picard-
Vessiot, 148; Le groupe de Galois différentiel. Exemples, 151;
LacorrespondancedeGaloisdifférentielle,156; Extensionsélémentaires,157;
Appendice:théorèmedeszérosdeHilbert,163; Exercices,165.
Problèmesd’examen ........................................................167
Problème de révision (2002), 167; Contrôle classant (2002), 168;
Sessionderattrapage(2002),171; Contrôleclassant(2003),171.
Bibliographie ..............................................................175
Index ......................................................................177Présentation
Voici un petit cours d’algèbre dans lequel l’accent est mis sur la structure de corps,
d’oùsontitre.
Il y est question d’équations, polynomiales ou différentielles, et de la structure al
gébriquedeleurssolutions.Onsaitparexemplerésoudreexplicitementleséquations
polynomialesdedegré 2, 3 ou 4 (Cardan,Ferrari,etc.)àl’aidedeformulesalgébriques
etd’extractionsderacines n-ièmes,maislecasdudegré 5 arésistélongtemps,jusqu’à
ce qu’Abel montre en 1826 qu’une équation de degré 5 générale ne peut être résolue
delasorte.
Peu après, Galois a défini le groupe d’une équation polynomiale comme le groupe
despermutationsdesesracines(disonscomplexes)quipréserventtouteslesidentités
algébriquesàcoefficientsrationnelsquecesracinesvérifient.Parexemple,onsaitbien
quelesfonctionssymétriquesélémentairesdesracinessont(ausigneprès)lescoeffi
cientsdupolynôme.Engénéral,iln’yenapasd’autre,maisparfoissietlegroupede
l’équationenestd’autantpluspetit.
Et Galois a compris comment ce groupe de symétrie conditionne la résolubilité de
l’équation.Iladéfiniàl’occasionlanotiondegrouperésolubleetétabliquesilegroupe
del’équationestrésoluble,onpeutexprimersesracinesparradicaux,etsinonnon.
Expliquer tout ceci nous mènera sur d’intéressants chemins. Vous apprendrez par
exemplepourquoid’antiquesproblèmesdeconstructionsàlarègleetaucompasn’ont
effectivementpasdesolution,maisinversementvoussaurezpourquoi(etdécouvrirez
peut êtrecomment)l’onpeutconstruirecertainspolygonesréguliers.
Il y a une théorie analogue pour les équations différentielles linéaires homogènes
et nous introduirons un groupe analogue. Ce sera alors un groupe de matrices. Vous
apprendrez aussi pourquoi certains calculs explicites de primitives, tels celui de
R
2exp(x ),sontsansespoir.
Au menu figurent également quelques théorèmes d’analyse : la transcendance du
nombre π, le fait que le corps des nombres complexes est algébriquement clos, ainsi
quelethéorèmedePuiseuxquimontrecommentparamétrerlesracinesd’uneéqua
tionpolynomialedontlescoefficientspeuventvarier.viii PRÉSENTATION
Danschaquechapitre,jeproposequelquesexercices.Vousenferezvraisemblable-
mentcertainsenpetitesclasses.Jevousencourageàpasserunpeudetempsàlescher-
cher. C’est en effet un excellent moyen d’assimiler les nouvelles notions introduites
danscecours.Nevousinquiétezpas,certainssontmêmefaciles!
Quelques illustrations, tirées du Web, ont pour vocation d’égayer ce livre. J’ai
trouvé les reproductions de timbres à l’adresse http://jeff560.tripod.com/ —
ceux que cela intéresse seront ravis de feuilleter le livre [13] — tandis que les
photos proviennent de l’archive MacTutor History of Mathematics à l’adresse
http://www groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/ . J’encourage ceux d’entre vous qui
sont intéressés par l’histoire des mathématiques à la fréquenter. La lecture du petit
livre[4]d’A.DahanetJ.Peifferestaussivivementrecommandée.
Etmaintenant,commençons...1
Extensionsdecorps
Nous partons du problème géométrique des constructions à la règle et
au compas. Nous introduisons ensuite les notions de corps et d’extensions
de corps, et enfin celle d’extension algébrique. Cela fournit rapidement des
résultats d’impossibilité pour quelques problèmes classiques. Nous verrons
plus tard que la théorie de Galois fournit un critère définitif permettant de
décidersiuneconstructionestoun’estpasréalisableàlarègleetaucompas.
1.1. Constructionsàlarègleetaucompas
Pour les Grecs de l’antiquité, nombres et mesures de longueurs étaient deux
conceptsintimementliés.C’estainsiqu’ilssesontposésleproblèmedeconstructions
géométriques de nombres remarquables. Les outils qu’ils se donnaient étaient en
général une règle et un compas, mais, notamment quand ils n’y arrivaient pas, il leur
arrivad’admettredesmécanismesquitracentdescourbesplusgénérales(cf.[4]ainsi
quelesnotesde[9]).
Formalisonsleproblèmedupointdevuemathématique.
2DÉFINITION 1.1.1. — Soit un ensemble Σ de points du plan R . On dit qu’un point
P est constructible à la règle et au compas à partir de Σ s’il existe un entier n et une
suite de points (P ,...,P ) tels que P = P et tels que pour tout i ∈ {1;...;n}, notant1 n n
Σ =Σ∪{P ;...;P },l’unedespropositionssuivantessoitvérifiée:i 1 i−1
0 0– il existe 4 points A, B, A et B ∈Σ tels que P soit l’intersection des deux droitesi i
0 0nonparallèles (AB) et (A B );
– il existe quatre points A, B, C, et D∈Σ tels que P soit l’un des (au plus) deuxi i
pointsd’intersectiondeladroite (AB) etducercledecentreC etderayon [CD];
0 0– il existe quatre points O, M, O et M ∈Σ tels que P soit l’un des (au plus) deuxi i
points d’intersection des cercles distincts respectivement de centre O et de rayon [OM],
0 0 0etdecentreO etderayon [O M ].2 CHAPITRE 1.EXTENSIONS DE CORPS
DÉFINITION 1.1.2. — ConsidéronsunepartieΣ de R.Unréel x estdit constructibleà
larègleetaucompasàpartirdeΣ sic’estl’abscissed