Matrices et determinant - Agrégation, septembre 2006 - [Gour] Les ...

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Matrices et determinant - Agrégation, septembre 2006 - [Gour] Les ...

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• Publié par: abubidur
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Agr´egation,septembre2006

-[Gour]Lesmathsentˆete,Alge`bre,X.Gourdon,Ellipse ´ -[Bri-Mai]Ele´mentsd’alg`ebrecommutative,J.Brianc¸on,Ph.Maisonobe, Ellipse -[Be-Ma-Pe]Objectifagr´egation,V.Beck,J.Malick,A.Peyre´,HK -[Fr-Gi-Ni-1]Exercicedemathe´matiques,orauxx-ens,alg`ebre2 -[Go]Coursd’Alge`bre,Godement,Hermann Onseproposederappelerlespremie`resnotionssurde´terminantetles matricesillustre´espardesexercices. Nous noterons parS n le groupe des permutations de l’ensemble{1, . . . ,n}, c’est-`a-direlegroupedesbijectionsdel’ensemble{1n, . . . ,}ansldˆemeui-m pour la loi de composition des applications. La signature d’une permutation σs,renatoe´e(σ), Exercice 1–ti)toSn´ien(adtinfidnoie´dumretXun ensemble,Gun groupe commutatif (dont nous notons la loi additivement) et une application : n f:X=X× ∙ ∙ ∙ ×X−→G ,(x 1 , . . . ,x n )→7−f(x 1 x, . . . , n ). ˜ n Associonsa`fl’applicationf:X−→Gd:riepa´efin X ˜ (x 1 x, . . . , n )7→−f(x 1 x, . . . , n ) =(σ)f(x σ(1) , . . . ,x σ(n) ). σ∈S n ˜ Montrer que l’applicationfse:ntvauiss´eeti´prorpselefiire´v ˜ –(alterne´e)f(x 1 x, . . . , n ) = 0 s’il existei6=jtel quex i =x j , –(antisym´etrique)siσest une permutation deS n , alors nous avons : ˜ ˜ n ∀(x 1 , . . . ,x n )∈X;f(x σ(1) , . . . ,x σ(n) ) =(σ)f(x 1 x, . . . , n ). ∗ lEOn noteeme Soite 1 , . . . , e n une base d’unK-espace vectorie i le for lin´eairequiassocie`aunvecteurdeEse`iaocemodro´ennanedabsleas n e 1 , . . . , e n . On noted:E→K, l’applicationnnil-´deriae´arepniefi: ∗ ∗ . , m) =e( ). . . d(m 1 , . . n ( n 1 m 1 e m n ). ˜ Montrer quedestn-lin´eaier. ˜ Calculerd(e 1 , . . . , e n ). 1