Matrices et déterminants 1 Matrices

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Matrices et déterminants 1 Matrices

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Matrices

Matricesetd´eterminants

D´efinition1.1.ompl(oucexe)Uamencirte´reelleM= (m i,j ) (m, n)`amlignes etn colonnesestuntableaua`mlignes etnnoendsreclodecomple´eels(oucffieotnei)sexceL. situ´esurlacolonneiet la lignejetsenot´m i,j . La somme de deux matricesP= (p i,j )etQ= (q i,j )mlignes etncolonnes est la matrice (p i,j +q i,j ). Siλest un scalaire la matriceλPest la matrice(λp i,j ) L’ensemble des matricesmlignes etnmpcoxele(rlsp.esstneee´roca`icffiennseocol)sset note´Mat m,n (R)(resp.Mat m,n (C)). Sim=nr´arscceriatemedlrapno(etnoonee)s simplementMat m (R)(resp.Mat m (C))

Proposition 1.2.L’ensembleMat m,n (R)(resp.Mat m,n (C)espacevectorielre´lenutse) (resp. complexe) de dimensionmntnodbenueesaodtstairelmsperanne´cesE r,s ,1≤ r≤m,1≤s≤ndont tous les coefficients sont nuls sauf celui sur ligneret la colonne s.

Les matrices suivantes (n, n.sdananteuiteslasoresseritropmitn´eesictrtaeneml´it,dmaes)

•tairm(tie´ecnu)I n dont tous les coefficients sur la diagonale valent 1, tous les autres 0(ladiagonaleestl’ensembledespointsdutableaudecoordonn´ees(r, r),r≤n

•(matrices de transposition)S r,s =I n −E r,r −E s,s +E r,s +E s,r , avecr6=s,

•(matrices de transvection)T r,s (λ) =I n +λE r,s , avecr6=s,

•(matrices de dIlatation)D r (µ) =I n + (µ−1)E r,r .

Soit   1 1 . . I n = .   1  1 tousleslese´l´ementsdiagonauxsont´egaux`a1,touslesautrestermessontnulsceluisauf celui sur la ligneret la colonnes´tseiuqa`lageλ.   1 . . . 0 1 . . S r,s (λ . ) = 1 0   .  .  . 1

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