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• cours - matière : mathématiques
• cours - matière potentielle : la séquence

L'origine de la recherche Les programmes de mathématiques, à tous les niveaux d'enseignement, recom- mandent la pratique d'activités de recherche, de situations permettant à l'élève de découvrir l'aspect « science expérimentale » des mathématiques. Cependant les enseignants de mathéma- tiques proposent peu d'activités de ce type, ou les relèguent dans un statut péri- phérique, exceptionnel, éloigné du « vrai » cours de mathématiques. Cette défiance des professeurs vis-à-vis de ces activités peut s'expliquer par divers facteurs : crainte de perdre du temps, peur de ne pas savoir les mener, déficit de répertoire… La pratique des activités de

• communi- cation habituellement
• sens aux propriétés découvertes dans le cadre du programme
• choix de propriétés
• spirolatères
• propriété
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Sujets

• mathématiques
• mathématique

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Extrait

Sortons des sentiers battus
Les spirolatères
Une méthode originale pour convaincre les élèves de l’utilité des démonstrations
Avec un titre pareil, pas étonnant que l’atelier animé aux journées de Besançon par Pierre-Alain Müller
ait eu du succès… Parmi les présents, deux membres de l’équipe PLOT ! Pierre-Alain Müller fait partie
d’un groupe de travail IREM, groupe dont la spécificité réside dans la volonté d’intégrer, d’articuler les
situations de recherche à la pratique quotidienne de la classe, de les mettre au service de l’apprentissage
des contenus mathématiques. L’intégralité de leurs travaux est téléchargeable sur : www3.ac-nancy-
metz.fr/pasi/IMG/545557Colleges2006.pdf. Vous trouverez, détaillée, l’intégralité de l’expérience « spi-
èmerolatère » mais aussi d’autres points du programme de 4 (quadrilatères, droites des milieux, Varignon)
ème èmeet des activités à mener en 6 et 5 … 88 pages d’une très grande richesse.
L’origine de la recherche
Les programmes de mathématiques, à Notre pari réside dans le fait de croire que
tous les niveaux d’enseignement, recom- les élèves comprendront mieux l’intérêt
mandent la pratique d’activités de de démontrer si on les fait passer par la
recherche, de situations permettant à pratique d’activités qui nécessitent de
l’élève de découvrir l’aspect « science convaincre et de prouver.
expérimentale » des mathématiques. Il semble, d’autre part, que de nombreux
Cependant les enseignants de mathéma- élèves ne parviennent pas à comprendre
tiques proposent peu d’activités de ce ce qu’est une propriété mathématique.
type, ou les relèguent dans un statut péri- Nous avons choisi de mettre les élèves en
phérique, exceptionnel, éloigné du « vrai situation de producteurs de propriétés afin
» cours de mathématiques. Cette défiance de leur faire prendre conscience des cri-
des professeurs vis-à-vis de ces activités tères qui font qu’un énoncé est une pro-
peut s’expliquer par divers facteurs : priété mathématique.
crainte de perdre du temps, peur de ne pas
L’épineuse question du coût horairesavoir les mener, déficit de répertoire…
La pratique des activités de recherche vise L’horaire de mathématiques est étriqué au
d’une part à donner aux élèves l’habitude regard des programmes à traiter. Le
et le goût de chercher et d’autre part à détour par un chapitre supplémentaire ne
donner du sens aux notions du pro- se justifie que s’il permet de gagner du
gramme. temps ensuite. Notre regard sur trois
années d’expérimentation nous permet de
Le choix de la quatrième
dire que cela a souvent été le cas. Il a été
Nous avons choisi la classe de quatrième moins indispensable de revenir sur la
comme terrain d’expérimentation privilé- nécessité de démontrer par la suite dans
gié car beaucoup d’élèves éprouvent de l’année. La référence aux propriétés pro-
grandes difficultés à ce niveau. La notion duites lors de l’activité des spirolatères a
de démonstration s’installe et les élèves souvent permis de redonner du sens aux
sont déroutés par les changements d’exi- propriétés découvertes dans le cadre du
gences des professeurs. programme.
APMEP - PLOT n° 23 9Sortons des sentiers battus
Ajoutons que la gestion du capital horaire ments ; le premier mesure une unité de
est une affaire de choix : le nôtre consiste longueur, puis chaque nouveau segment
à consacrer du temps, deux ou trois fois est obtenu en augmentant la longueur
par an pendant la scolarité au collège, à d’une unité et en tournant d’un angle
mettre les élèves en situation de cher- constant. La figure 1 montre la construc-
cheurs, quitte à adopter à d’autres tion d’un spirolatère d’ordre 3 (défini par
moments une attitude plus transmissive, la suite de nombres 1, 2, 3 répétée quatre
moins dévoreuse de temps. Il ne nous fois) avec un angle de 90° dans le sens des
paraît pas incongru de consacrer une ou aiguilles d’une montre.
deux heures à faire découvrir les proprié-
tés liées à la configuration de la droite des Nous avons légèrement modifié l’objet en
milieux mais de présenter dans la même considérant que les longueurs des diffé-
classe le théorème de Pythagore d’une rents segments ne sont pas forcément des
manière plus traditionnelle. entiers consécutifs et nous avons choisi de
tourner toujours de 90° dans le sens
Le choix des spirolatères
direct.
Afin que les élèves produisent des pro-
Pour tracer le spirolatère 1-3-2-5-2 :priétés, nous leur avons proposé une
on choisit un point sur une feuille quadril-situation délibérément hors programme :
lée puis on trace des segments :les spirolatères, objets mathématiques
De 1 carreau vers la droitemarginaux qui datent de la préhistoire de
De 3 carreaux vers le hautl’informatique pédagogique, à l’époque
De 2 carreaux vers la gauchedu langage LOGO.
De 5 carreaux vers le bas
De 2 carreaux vers la droiteCe travail sur un contenu extérieur au pro-
De 1 carreaux vers le hautgramme aura pour objectifs :
De 3 carreaux vers la gauche- d’élucider la notion de propriété
mathématique,
- de donner du sens à la nécessité de
démontrer, au sens de « convaincre ».
L’activité sur les spirolatères prend donc
place en début d’année, avant tout autre
travail de démonstration.
Qu’est-ce qu’un spirolatère ?
Les spirolatères ont été inventés par le
biochimiste Frank Olds au début des
années 70. Le spirolatère d’ordre n est
Exemples
construit en dessinant une suite de seg-
3-1-4-1-6 4-1-3-2-2-5 Figure 1
APMEP - PLOT n° 2310Sortons des sentiers battus
5-3-3 4-1-6-3 1-3-3 se passe-t-il si on les permute ? si on
les multiplie par 2 ?…
Avec les élèves, le protocole se déroule
suivant trois phases :
- Phase 1 : découverte des spirolatères
et production de propriétés.
Nous appelons « longueur » du spiro- - Phase 2 : choix de propriétés à com-
latère le nombre de termes de la suite le muniquer à une autre classe.
définissant. - Phase 3 : étude des propriétés reçues
Nous décidons de choisir ces termes de l’autre classe.
parmi les entiers dans l’intervalle [1 ; 9].
L’intérêt particulier de l’expérience est
A vos crayons ! l’échange mené avec d’autres classes du
département. Ainsi, les propriétés déga-Vous pouvez, avant de poursuivre la lec-
gées auront été étudiées collectivement enture de ce compte rendu, vous mettre à
classe, un vrai débat ayant lieu pour lestracer des tas de spirolatères comme cela
valider/infirmer.a été demandé aux participants lors de
l’atelier puis émettre des conjectures les
Les compétences visées
concernant.
Quelques questions ou résultats que vous Les compétences que nous espérons déve-
risquez de rencontrer, comme les élèves : lopper chez les élèves sont de plusieurs
- cela se referme-t-il ? La réponse est natures :
« toujours » si la longueur du spiro-
Les compétences relatives au raisonne-
latère n’est pas un multiple de 4,
ment
« exceptionnellement » dans le cas
La nécessité de démontrercontraire.
- la figure a-t-elle toujours un centre L’objectif principal visé est donc que les
de symétrie, est-elle toujours stable élèves comprennent que la vérité d’une
par rotation d’un quart de tour ? assertion mathématique n’est pas une
- chaque spirolatère est-il défini par question d’opinion. Nous pouvons détail-
une suite unique ? Cela peut conduire ler cet objectif en plusieurs composantes :
à définir une notion de « suite mini- - Les élèves comprennent le principe
male » ou de « spirolatère irré- du tiers exclu : une propriété est juste
ductible ». Il est flagrant, en effet, que ou elle est fausse.
la répétition de la suite génère la même - Les élèves comprennent qu’il suffit
figure : 1-2 et 1-2-1-2 produisent le d’un contre-exemple pour invalider
même rectangle. une assertion.
- Les élèves peuvent s’intéresser aux - Les élèves comprennent qu’une mul-
spirolatères de longueur 1, de titude d’exemples favorables ne suff