Nombre d'inconnues nombre d'equations

Description

METHODES ANALYTIQUES 1 Bilan 1.1 Nombre d'inconnues, nombre d'equations En elasticite lineaire, et dans l'hypothese des petites perturbations, le nombre d'inconnues dans un probleme de mecanique des milieux continus est egal a 15. En effet, l'objectif est de determiner en chaque point du solide le vec- teur deplacement ??u (trois composantes), le tenseur des deformations ? (six composantes independantes) et le tenseur des contraintes ? (six composantes independantes). Pour resoudre un tel probleme, nous devons donc disposer de 15 equations. Ces equations sont les trois equations d'equilibre : ??div(?) +??f v = 0 (1) les six equations de compatibilite des deformations (qui assurent que les deformations derivent d'un champ de deplacement sous la forme ?ij = 12(ui,j+ uj,i) obtenues par le systeme : ∆(?) + grad(???grad(tr(?))) = grad(??div(?)) + grad(??div(?))t (2) et les six equations de comportement reliant les contraintes aux deformations sous la forme : ? = 2µ?+ ?tr(?)I (3) ou le tenseur I represente le tenseur identite. 1

• deformations


• equations


• champ de contrainte


• methodes analytiques


• methodes semi- inverses


• resolution en deplacements


• tenseur de contrainte

Sujets

• Équation
• Tenseur des contraintes

Informations

• Publié par: pefav
• Nombre de lectures: 50
• Langue: Français

Extrait

 METHODES ANALYTIQUES

1 Bilan

1.1Nombred’inconnues,nombred’equations

Enelasticitelineaire,etdansl’hypothesedespetitesperturbations,lenombre d’inconnuesdansunproblemedemecaniquedesmilieuxcontinusestegala 15.Eneet,l’objectifestdedeterminerenchaquepointdusolidelevec- −→ teurdeplacementuatrmfoensio)sl,teneesruedds(troiscomposante²(six composantesindependantes)etletenseurdescontraintesσ(six composantes independantes). Pourresoudreuntelprobleme,nousdevonsdoncdisposerde15equations. Cesequationssontlestroisequationsd’equilibre:

−→−→ div(σ) +f v = 0(1) lessixequationsdecompatibilitedesdeformations(quiassurentqueles 1 deformationsderiventd’unchampdedeplacementsouslaforme² ij = (u i,j + 2 u j,i sytme:eesrlpaesnuteob) −−→ −→−→ t (²) +grad(grad(tr(²))) =grad(div(²)) +grad(div(²)) (2) etlessixequationsdecomportementreliantlescontraintesauxdeformations sous la forme:

σ= 2µ²+λtr(²)I

ouletenseurIrperseneetelet.etitnediruesn

1

(3)