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• cours - matière potentielle : series numeriques

Notes de cours Series numeriques PC, Lycee Dupuy de Lome 1 Generalites 1.1 Definitions Definition Soit (un)n≥0 une suite de reels ou complexes. – On appelle somme partielle de la serie de terme generale (un)n≥0 la suite (SN )N≥0 definie par : ∀N ≥ 0, SN = N∑ n=0 un – On dit que la serie de terme general (un)n≥0 est convergente lorsque la suite (SN )N≥0 converge et dans ce cas, on note : +∞∑ n=0 un = lim N→+∞ N∑ n=0 un – Dans le cas contraire, on dit que la serie

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Notes de cours

S´eriesnum´eriques

PC,Lyce´eDupuydeLoˆme

1Ge´ne´ralit´es 1.1D´efinitions De´finitionSoit (u n ) n≥0 .sundeteuiesuoslee´rexelpmoc –Onappellesommepartielledelas´eriedetermege´n´erale(u n ) n≥0 la suite (S N ) N≥0 fiein´d:epar N X ∀N≥0, S N =u n n=0 –Onditquelas´eriedetermege´n´eral(u n ) n≥0 est convergente lorsque la suite (S N ) N≥0 converge et dans ce cas, on note : +∞N X X u n = limu n N→+∞ n=0n=0 –Danslecascontraire,onditquelase´rieestdivergente. RemarqueLonact:ffene,esemretsreimerpsependpasdriened´e’dnusee´evgrneec N N 0 −1 N X XX ∀N≥N 0 , u n =u n +u n n=0n=0 n=N 0 RemarquePour toutn≥1,u n =S n −S n−1 RemarqueSiu n ≥0, la suite (S N ) N≥0 est croissante. Ainsi elle converge si et seulement si elle est major´eeetlorsqueellediverge,elletendvers+∞ Proposition(divergencegrossi`ere)Soit (u n ) n≥0 ed´reeslnuseiuetxes.oucomple P –Silase´rieu n converge, la suite (u n ) n≥0 tend vers 0 P – Sila suite (u n ) n≥0 einetenversdpass´er0,lau n dviD.nareegre´seiecsconastqdileue divergegrossi`erement. P n ExempleLsae´ire(−1) diverge P De´finitionSoit (u n ) n≥0 uetelqexesomploscue´ledereustineuu n converge. On appelle reste de P lase´rieu n , la suite (R N ) N≥0 : +∞ X R N =u n n=N+1 RemarqueLa suite (R N ) N≥0 tend vers 0 1.2 Exemples P n Exemple(Se´rieg´eome´trique)Soita∈C.reeiaL´saconverge si et seulement si|a|<1 et +∞ X 1 n a= 1−a n=0

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Exemple(Se´riete´lescopique)elt´coesarP:sreemedtsapeg ∞ X 1 = 1 n(n+ 1) n=1 Exemple(Se´rieharmoniquealtern´e)afclmuordeleylTavaroerceietse´tngvrealAe: +∞ n−1 X (−1) = ln(2) n n=1 1.3Ope´rationssurless´eries PropositionSoit (u n ) n≥0 et (v n ) n≥0 pmocexelee´ruoslSos.itedxuseedustiλ∈C P PP –Silesse´riesu n etv n oc(e,las´erinvergentu n +v n ) converge et +∞+∞+∞ X XX (u n +v n ) =u n +v n n=0n=0n=0 P P –Silas´erieu n e(ergeconv´eri,lasλu n ) converge et : +∞+∞ X X λu n =λ u n n=0n=0 P PP –Silase´rieu n e´ireconvergeetlasv n idevgr,es´laieer(u n +v n ) diverge. PreuveRevenir aux sommes partielles. P 1 n Exemple(eire´saL n + (−1) )diverge 2 P PropositionSoit (z n ) n≥0 une suite de complexes,z n =a n +ib n ,a n , b n ∈R´easeri.Lz n converge P P sietseulementsilesse´riesa n etb n et dans ce cas : +∞+∞+∞ X XX z n =a n +i b n n=0n=0n=0 ExempleSoitθ∈R. Calculer +∞+∞ X X cos(nθ) sin(nθ) , n n 2 2 n=0n=0 1.4Comparaisonse´rie-inte´grale Th´eor`emeSoitf: [0,+∞[→RlAro:suocnonitnofenitcnsaise.ntd´ueroec Z n Z n+1n X ∀n≥1, f(t)dt≤f(k)≤f(t)dt 1 0 k=1 PreuveFaire un dessin RemarqueLorsquefsseneuartsn’lntdaessolit´´egal,etniseiorcnassste RemarqueLorsquefn’est continue que sur [1,+∞calerlesbornes[i,fluadte´ Application:e´quivalentdesommespartiellesival´eque(entdTrenuorvuS n ) : n X 2 S n = (ln(k)) k=1 Application:´equivalentderestesalentde(e´nuviuqorTrevuR n ) : +∞ X 1 R n = 2 kln (k) k=n+1

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2Crit`eresdeconvergencepourlesse´ries`atermespositifs 2.1S´eriesdeRiemann P 1 The´ore`me(Se´riesdeRiemann)Soitα∈Rire´sal,e α converge si et seulement siα >1 n Preuve :.elaromrcrapaPanieige´tnosire´s Culture :peunraerarstluupvnOlsa’ddnaqeeunne´ +∞ 2 X 1π = 2 n6 n=1 P 1 Remarque :.s0erdvenltra´eenoufitrnexunplemaLre´seintedontletermeg´desee´irdevireeg n 2.2The´ore`medecomparaison Th´eor`eme(Comparaison)Soit (u n ) n≥0 et (u n ) n≥0 usxuseti.edpositifs`atermes – Onsupposeu n ≤v n ouu n =o(v n ) ouu n =O(v n ) P P –Silas´eriev n l,ege´saocrevneriu n aussi P P –Silas´erieu n reegdvie´eri,lasv n aussi P P – Onsupposeu n ∼v n esri´esslerslo,au n etv n anuter.ontmˆeme Remarquettonudgoesslouitivspospartes`anuecri’drnnatriah´etr`eoeremteesiarvruopsseletiuL termessontne´gatifs RemarqueLorsqueu n ∼v n ’uncertaapartirdemisng`esenomteˆuxdeitsuesclnodtffiusli,gnarni de prouver qu’une seule est positive. P ExempleermiD´etire´erlneataneduraselu n ou` 1 1 2 −n u n =e ,u n = ln(cos()), u n = nln(n) ln(n) 1 3 2 u n =, u n = 2ln(n+ 1)−3 ln(n+ 1), u n = arctan() 2 2 n n P Remarqueree´eeital´Dsreeraeldmarnnuitu n erte`marandupctionfoneα n 1 1α u n = ln(1 +) +αsin( ), u n = 2n n n1 +α 2.3R`egleded’Alembert The´ore`me(Re`gleded’Alembert)Soit (u n ) n≥0 une suite telle que∀n∈N,u n >0. On pose u n+1 l= lim u n n→+∞ P – Sil <´eriesal,1u n est convergente. P – Sil >eneveltumelent,1´(l= +∞,)´saleireu n est divergente. – Sil= 1, on ne peut rien dire. Preuvee.te´muqireireoe´gnes´n`auaisomparraocP P Exemple´eDrmtes´erieuteredalnirealanu n o`u   2n ln(n) n u n =, n n 2n RemarqueeCere`tircersse’pxointileestuquellorsu n comporte des produits. Remarque´’Ldutesnadellaumsninoonmgt´neenr´iebrnaelueqeid’enslsy´’eprasieaesddoecRcine troisie`mecas.

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