NOTES DU COURS DE MATHS 3 1. Rappels sur les espaces vectoriels ...

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NOTES DU COURS DE MATHS 3 1. Rappels sur les espaces vectoriels ...

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NOTES DU COURS DE MATHS 3

CHRISTIAN LÉONARD

1.Rappels sur les espaces vectoriels Nous rappelons quelques propriétés fondamentales de l’espace vectorielR n .Nous revi- sitons en particulier les notions debase vectorielleet dematricequi ont été introduites dans le cours de Maths 2. 1.1.Vecteurs, bases, parties libres.L’ensembleR n est composé des éléments −→ x= (x 1 , . . . , x n ) = (x i ) 1≤i≤n où lesx i ,1≤i≤nsont des nombres réels.R n est donc le produit cartésien dencopies de l’ensembleRdes nombres réels :R n = R× ∙ ∙ ∙ ×Relle − x → unvecteuretx i ∈Rest | {z } . saOn appi ème coordonnée. On munit nfois l’ensembleR n des opérations suivantes. Pour tous vecteurs −→ x= (x 1 , . . . , x n )∈R n , −→ y= (y 1 , . . . , y n )∈R n et toutλ∈R,on définit lamultiplication externepar −→ λ x= M (λx 1 , . . . , λx n )∈R n et l’additionpar − x → + − y → = M (x 1 +y 1 , . . . , x n +y n ). Le signe M =(égale surmonté de la lettre delta) signifie que l’égalité correspond à une définition. Nous le rencontrerons de temps en temps dans ce cours. Dans l’écriture λ −→ xde la multiplication externe, le signe multiplié n’est pas écrit explicitement, tout comme dans la multiplication habituelle des nombres réels que nous retrouvons dans λx 1 , . . . , λx n .Dans l’écriture −→ + −→ y ,le signe+correspond à une addition de vecteurs, x mais on utilise la même notation que pour l’addition des nombres réels que nous retrouvons dans l’addition terme à terme des coordonnées :x 1 +y 1 , . . . , x n +y n . Labase canoniquedeR n est l’ensemble des vecteurse −→ 1 , . . . , e −→ n où e −→ 1 = M (1,0, . . . ,0), e −→ 2 M = (0,1,0, . . . ,0), . . . , e −→ n = M (0, . . . ,0,1). Date: 2004.

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