Pliage : géométrie, suite arithmético géométrique et convergence

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• cours - matière potentielle : du pliage

Pliage : geometrie, suite arithmetico geometrique et convergence Niveau : Approfondir la Terminale S Difficulte : Duree : Rubrique(s) : Analyse ( Suites, limites ) Geometrie ( Geometrie plane, angles ) La petite histoire... Cet exercice est d'abord une histoire de pliage, et de convergence. Prenez un ruban de papier et pliez le. Comme dans la figure ci dessous, nous vous conseillons que l'angle selon lequel vous pliez (qui apparait en rouge) soit grand : Puis vous pliez a nouveau, suivant la bissetrice du nouvel angle, ce qui revient juste a rabattre la partie deja pliee contre le bord du haut du ruban de

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Exrait

Pliage:g´eom´etrie,suitearithm´eticog´eom´etriqueetconvergence

Niveau :Approfondir la Terminale S

Difficult´e: Dur´ee:

Rubrique(s) : Analyse( Suites, limites ) G´eom´etrienalpna,ee´moeirt(G´eesgl)

La petite histoire...Cet exercice est d’abord une histoire de pliage, et de convergence. Prenez un ruban de papier et pliez le. Comme dans la figure ci dessous, nous vous conseillons que l’angle selon lequel vous pliez (qui apparait en rouge) soit grand :

Puisvouspliez`anouveau,suivantlabissetricedunouvelangle,cequirevientjuste`arabattre lapartied´eja`pli´eecontrelebordduhautdurubandelamani`eresuivante

Rep´etezmaintenantcetteope´rationenpliant`achaquefoissuivantlabissetricedunouvelangle:

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Que se passe -t- il? Quel genre de triangle semble se dessiner?

N’he´sitezpasutiliserunrubanplusgrandpourvoirlalimiteapparaıˆtre,ouutiliservotrerap- porteur pour deviner la valeur de l’angle limite. Maisdetoutefac¸on,nousallonsmaintenantmettretoutcela«tionen´equa»qreuetde´omtner quelquesoitlepliinitial,cespliagesconduisenttoujoursaumeˆmeanglelimite,quinenousest pas inconnu ... Lesexercicesquisuiventvontr´epondreformellement`acesquestions:lepremierexercice estl’´etudedelasuitequisecachederrie`receproble`medepliage,ledeuxie`meproposeune ge´n´eralisationdur´esultatauxsuitesappel´eesarithm´etico-ge´ome´triques,etledernierestla r´esolutionthe´oriqueduprobl`emedepliage. Exercice 1: La suite (u n glanessdppiaquesussruelaevissecc)quid´ecritlesvssneraiat surlerubanestdonn´eepar π1 u 0 ∈[0, π], u n+1 =−u n 2 2 Pourtrouversalimite,nousconside´ronslasuiteauxiliaire(v n )d´truotfieinpeuon∈N par π v n =u n −. 3 1) Montrer que (v n .nosiar)utsetigeenuse´rte´moetcaiqueersalcul 2) ude´dnEalavelirerdeuu n pour toutn∈Nen fonction deu 0 . 3) Montrer que (u n ) converge et donner sa limite.

Indications et Commentairesqieue´rte´motigenesuqu’uellerappnO)1:radeonisrest une suite (u n ) qui satisfait pour toutn∈N u n+1 =ru n . 2) Commencer par calculer la valeur dev n pour toutn∈N.

Corrections. 1)Il suffit d’exprimerv n+1 en fonction dev n :   π πu n π πu n 1π v n+1 =u n+1 −=− −=−=−u n − 3 22 36 22 3 et donc 1 v n+1 =−v n , 2 ce qui signifie que (v n son´moeirtedeuqiare)eunstuiesg´te−1/2. 2)acclovsnelsslureussaNo:seu´esgteuiiqtr´eom   2   k   n 1 11 1 v n =−.v n−1 =−v n−2 =...=−v n−k ...=−v 0 . 2 22 2

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Donc   n π1π u n =v n + =−v 0 + 3 23 Orv 0 =u 0 −π/3 et on conclut :   n 1π u n =−(u 0 −π/3) +. 2 3 n 3)Lorsquentend vers l’infini, (−1/vers 0 (divisez une part de gateau par deux jour2) tend n apr`esjours,etvousverrezqu’ilnerestepargrandchose...)etdonc(−1/2) (u 0 −π/3) tend aussi vers 0 etu n tend versπ/3.

Exercice 2: Soientu 0 , a∈Retb6onerassl=o1n.Cd´sietiu(u n rencearr´ecurfie´dpein) pourn∈Npar u n+1 =a+bu n Commeb6spou,n=1nelrinfie´dsnovuoeler´eombrlpar l=a+bl et (v n e´deeinfiruoptuotusti)aln∈Npar v n =u n −l. 1) Montrer quev n aredeuqinosiseutnesuiteg´eom´etrb. 2) Calculer la valeur deu n pour toutnen fonction deu 0 ,aetb. 3) etedilimerlarmin´eteDu n quand elle existe.

Indications et Commentairesgneu:r`sdasiityacinqca:3)Ilb∈]−1,1[,b= 1,b=−1, b >1 etb <−1. Sivousnevousrappelezplusdelam´ethodepourcalculercessuitesg´eom´etriques,vouspouvez retenirlerˆoledupointfixel=a+blr´lelqeeapuirapaC.tse’ntmeleelurattnˆıiuqte,etimilala` permetder´ecup´ererunesuitege´om´etriqueu n −l. En effet, si il exister >0 tel quev n+1 =rv n pour toutn∈N, alorsa+bu n −l=ru n −rlpour toutn∈Ntia`noudicquce,b=ret a−l=−rl,c’edirest`al=a+bl.

Corrections. 1)snodcna`xerpmireouNheschorcv n+1 en fonction dev n : v n+1 =u n+1 −l=a+bu n −l=a+bu n −(a+bl) =b(u n −l) =bv n , et donc (v n es)netugee´ustirtqimoe´raisuedeonb. 2)avrleualal)clecurndel’exeequestiodee´edtncrcipe´rsnovassuruojuot(lairvos,emi`uxdeNo d’unesuitege´om´etriquederaisonbau rangn: n v n =b v 0 . Nousend´eduisonslavaleurdeu n : n u n =v n −l=b v 0 −l. Nous devons encore remplacerv 0 etl, en utilisant a a l=a+bl⇒l(1−b) =a⇒l= ;v 0 =u 0 −l=u 0 −. 1−b1−b Ainsi, pour toutn∈N,   a a n u n =b u 0 −+. 1−b1−b n 3)metrdtnecuddopmod´utenepeTobavelruedepdnedalui-cid´eetcelb:

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n n – Sib∈]−1,1[, alorsbtend vers 0, doncb(u 0 −a/(1−b)) tend vers 0 etu n tend vers −a/(1−b). n – Sib= 1,ba1etetsocsnattn´egela`eu n `aleest´egalemctnetsnoetnaage´u 0 . Elle converge donc versu 0 . n – Sib= 1, (−1) oscilleentre 1 et−1 (un coup la suite vaut 1, le coup suivant−1, et ainsi de suite ....). Doncu n oscille entreu 0 et 2a/(1−b)−u 0 eianse´meobnreestcell.Don converge pas, sauf (et seulement sauf) si a a u 0 = 2−u 0 ,adt`eirse’cu 0 =. 1−b1−b En effet dans ce dernier cas, la suite (u n snoctse)ge´etnatae`alu 0 =a/(1−b). n – Sib >1,btend vers l’infini. Doncu n tend respectivement vers +∞,−∞etu 0 =a/(1−b) suivant que (u 0 −a/(1−bul.foungati))sesttisipontmeteictre´ntnemetcirts,f n – Sib <−1,b«oscille entre plus et moins l’infini». Siu 0 −a/(1−b) est non nul, alorsu n oinsl’infini.emtnnertpeulesmtilscolega´ele Siu 0 =a/(1−b) alors la suite est constante et donc convergente versu 0 =a/(1−b).

Exercice 3erduose´ricisnolalusNo:tiua´dbegadee´rcemedeplileprobl``a,cutst’e diremontrerquelespliagessuccessifsconduisent`aformeruntrianglee´quilat´eral,c’est a`diredesanglesdeπ/3. 0 Tracezdeuxdroitesparall`elesΔetΔpourr´epr´esenterleruban.SoientA∈Δ et 0 B∈NotonsΔ .αl’angle aigu entre Δ et (AB). Tracer la bissectrice de l’angle obtu 0 0 entre (ABet noter) et Δβ.l’angle entre cettre bissectrice et Δ

1) Faites un dessin et exprimer la valeur deβen fonction deα. 2) imalalt`enisduoncsfisseccussegaiespluoilourqorspzelailuqEpxite`alaformation d’un angleπ/selguqe´taliare´`astredistdeanri3c,e’ux. 3) eiverecia`neibtnnlloseertrseisablifeqroupeiliadtJuszpoutifieapelreipabarertt surlebordduhautpourlepremierpliage,c’est`adirerabattrelesegment[AB] sur la 0 droite Δ .

Indications et Commentairesoil`:Vafialregurrcopoesnadnpuatgail:e

1) Utilisez les angles alternes internes.

Corrections. 0 0 1)L’angle aigu entre (ABetΔ)´egavauttnelemαelesilisonutsetce`llerΔatlsarnaoepΔt angles alternes internes. L’angle entre (AB) et Δ vaut doncπ−αet en prenant la bissetrice, on obtient un angle deβ=π/2−α/2.

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