Pliage : géométrie, suite arithmético géométrique et convergence
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  • cours - matière potentielle : du pliage
Pliage : geometrie, suite arithmetico geometrique et convergence Niveau : Approfondir la Terminale S Difficulte : Duree : Rubrique(s) : Analyse ( Suites, limites ) Geometrie ( Geometrie plane, angles ) La petite histoire... Cet exercice est d'abord une histoire de pliage, et de convergence. Prenez un ruban de papier et pliez le. Comme dans la figure ci dessous, nous vous conseillons que l'angle selon lequel vous pliez (qui apparait en rouge) soit grand : Puis vous pliez a nouveau, suivant la bissetrice du nouvel angle, ce qui revient juste a rabattre la partie deja pliee contre le bord du haut du ruban de
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Langue Français

Exrait

Pliage:g´eom´etrie,suitearithm´eticog´eom´etriqueetconvergence
Niveau :Approfondir la Terminale S
Dicult´e: Dur´ee:
Rubrique(s) : Analyse( Suites, limites ) G´eom´etrienalpna,ee´moeirt(G´eesgl)
La petite histoire...Cet exercice est d’abord une histoire de pliage, et de convergence. Prenez un ruban de papier et pliez le. Comme dans la figure ci dessous, nous vous conseillons que l’angle selon lequel vous pliez (qui apparait en rouge) soit grand :
Puisvouspliez`anouveau,suivantlabissetricedunouvelangle,cequirevientjuste`arabattre lapartied´eja`pli´eecontrelebordduhautdurubandelamani`eresuivante
Rep´etezmaintenantcetteope´rationenpliant`achaquefoissuivantlabissetricedunouvelangle:
1
Que se passe -t- il? Quel genre de triangle semble se dessiner?
Nhe´sitezpasutiliserunrubanplusgrandpourvoirlalimiteapparaıˆtre,ouutiliservotrerap-porteur pour deviner la valeur de l’angle limite. Maisdetoutefac¸on,nousallonsmaintenantmettretoutcela«tionen´equa»qreuetde´omtner quelquesoitlepliinitial,cespliagesconduisenttoujoursaumeˆmeanglelimite,quinenousest pas inconnu ... Lesexercicesquisuiventvontr´epondreformellement`acesquestions:lepremierexercice estl´etudedelasuitequisecachederrie`receproble`medepliage,ledeuxie`meproposeune ge´n´eralisationdur´esultatauxsuitesappel´eesarithm´etico-ge´ome´triques,etledernierestla r´esolutionthe´oriqueduprobl`emedepliage. Exercice 1: La suite (unglanessdppiaquesussruelaevissecc)quid´ecritlesvssneraiat surlerubanestdonn´eepar π1 u0[0, π], un+1=un 2 2 Pourtrouversalimite,nousconside´ronslasuiteauxiliaire(vn)d´truoteinpeuonN par π vn=un. 3 1)Montrer que (vn.nosiar)utsetigeenuse´rte´moetcaiqueersalcul 2)ude´dnEalavelirerdeuunpour toutnNen fonction deu0. 3)Montrer que (un) converge et donner sa limite.
Indications et Commentairesqieue´rte´motigenesuquuellerappnO)1:radeonisrest une suite (un) qui satisfait pour toutnN un+1=run. 2) Commencer par calculer la valeur devnpour toutnN.
Corrections. 1)Il suffit d’exprimervn+1en fonction devn:   π πunπ πun1π vn+1=un+1=− −==un3 22 36 22 3 et donc 1 vn+1=vn, 2 ce qui signifie que (vnson´moeirtedeuqiare)eunstuiesg´te1/2. 2)acclovsnelsslureussaNo:seu´esgteuiiqtr´eom  2 k n 1 11 1 vn=.vn1=vn2=...=vnk...=v0. 2 22 2
2
Donc  n π1π un=vn+ =v0+ 3 23 Orv0=u0π/3 et on conclut :  n 1π un=(u0π/3) +. 2 3 n 3)Lorsquentend vers l’infini, (1/vers 0 (divisez une part de gateau par deux jour2) tend n apr`esjours,etvousverrezquilnerestepargrandchose...)etdonc(1/2) (u0π/3) tend aussi vers 0 etuntend versπ/3.
Exercice 2: Soientu0, aRetb6onerassl=o1n.Cd´sietiu(unrencearr´ecure´dpein) pournNpar un+1=a+bun Commeb6spou,n=1nelrine´dsnovuoeler´eombrlpar l=a+bl et (vne´deeinruoptuotusti)alnNpar vn=unl. 1)Montrer quevnaredeuqinosiseutnesuiteg´eom´etrb. 2)Calculer la valeur deunpour toutnen fonction deu0,aetb. 3)etedilimerlarmin´eteDunquand elle existe.
Indications et Commentairesgneu:r`sdasiityacinqca:3)Ilb]1,1[,b= 1,b=1, b >1 etb <1. Sivousnevousrappelezplusdelam´ethodepourcalculercessuitesg´eom´etriques,vouspouvez retenirlerˆoledupointxel=a+blr´lelqeeapuirapaC.tsentmeleelurattnˆıiuqte,etimilala` permetder´ecup´ererunesuitege´om´etriqueunl. En effet, si il exister >0 tel quevn+1=rvn pour toutnN, alorsa+bunl=runrlpour toutnNtia`noudicquce,b=ret al=rl,cedirest`al=a+bl.
Corrections. 1)snodcna`xerpmireouNheschorcvn+1en fonction devn: vn+1=un+1l=a+bunl=a+bun(a+bl) =b(unl) =bvn, et donc (vnes)netugee´ustirtqimoe´raisuedeonb. 2)avrleualal)clecurndelexeequestiodee´edtncrcipe´rsnovassuruojuot(lairvos,emi`uxdeNo dunesuitege´om´etriquederaisonbau rangn: n vn=b v0. Nousend´eduisonslavaleurdeun: n un=vnl=b v0l. Nous devons encore remplacerv0etl, en utilisant a a l=a+bll(1b) =al= ;v0=u0l=u0. 1b1b Ainsi, pour toutnN,   a a n un=b u0+. 1b1b n 3)metrdtnecuddopmod´utenepeTobavelruedepdnedalui-cid´eetcelb:
3
n n – Sib]1,1[, alorsbtend vers 0, doncb(u0a/(1b)) tend vers 0 etuntend vers a/(1b). n – Sib= 1,ba1etetsocsnattn´egela`eun`aleest´egalemctnetsnoetnaage´u0. Elle converge donc versu0. n – Sib= 1, (1) oscilleentre 1 et1 (un coup la suite vaut 1, le coup suivant1, et ainsi de suite ....). Doncunoscille entreu0et 2a/(1b)u0eianse´meobnreestcell.Don converge pas, sauf (et seulement sauf) si a a u0= 2u0,adt`eirsecu0=. 1b1b En effet dans ce dernier cas, la suite (unsnoctse)ge´etnatae`alu0=a/(1b). n – Sib >1,btend vers l’infini. Doncuntend respectivement vers +,−∞etu0=a/(1b) suivant que (u0a/(1bul.foungati))sesttisipontmeteictre´ntnemetcirts,f n – Sib <1,b«oscille entre plus et moins l’infini». Siu0a/(1b) est non nul, alorsunoinslinni.emtnnertpeulesmtilscolega´ele Siu0=a/(1b) alors la suite est constante et donc convergente versu0=a/(1b).
Exercice 3erduose´ricisnolalusNo:tiua´dbegadee´rcemedeplileprobl``a,cutste diremontrerquelespliagessuccessifsconduisent`aformeruntrianglee´quilat´eral,cest a`diredesanglesdeπ/3. 0 Tracezdeuxdroitesparall`elesΔetΔpourr´epr´esenterleruban.SoientAΔ et 0 BNotonsΔ .αl’angle aigu entre Δ et (AB). Tracer la bissectrice de l’angle obtu 0 0 entre (ABet noter) et Δβ.l’angle entre cettre bissectrice et Δ
1)Faites un dessin et exprimer la valeur deβen fonction deα. 2)imalalt`enisduoncsfisseccussegaiespluoilourqorspzelailuqEpxite`alaformation d’un angleπ/selguqe´taliare´`astredistdeanri3c,eux. 3)eiverecia`neibtnnlloseertrseisablifeqroupeiliadtJuszpoutieapelreipabarertt surlebordduhautpourlepremierpliage,cest`adirerabattrelesegment[AB] sur la 0 droite Δ .
Indications et Commentairesoil`:Vaalregurrcopoesnadnpuatgail:e
1) Utilisez les angles alternes internes.
Corrections. 0 0 1)L’angle aigu entre (ABetΔ)´egavauttnelemαelesilisonutsetce`llerΔatlsarnaoepΔt angles alternes internes. L’angle entre (AB) et Δ vaut doncπαet en prenant la bissetrice, on obtient un angle deβ=π/2α/2.
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