Préparation à l'Agrégation de Mathématiques Algèbre linéaire ...

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Préparation à l'Agrégation de Mathématiques Algèbre linéaire ...

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UNIVERSITÉ DE POITIERS Mathématiques Agrégation002/90820 Paul Broussous

Préparation à l’Agrégation de Mathématiques

Algèbre linéaire Réduction des endomorphismes

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Avant Propos

Nous supposerons connues les notions de base d’algèbre linéaire (programme de L1 et L2). En particulier nous demandons aux étudiants de réviser les notions debase, dimension,rangetdéterminant. Lethéorème de la base incomplètesera d’utilisation systématique. Faute de temps, nous ne développerons que certains points du programme : ceux qui semblent poser le plus de difficultés aux agrégatifs. En particulier nous traiterons les points suivants :espaces quotients,dualité,réduction des endomorphismes. Nous illustre- rons le cours par des exercices et des extraits de problèmes d’écrit d’Agrégation récents.

La référence principale à la base de ces notes estAlgèbre, Patrice Tauvel, 2nde édition, Dunod. Nous conseillons aussi leCours de Mathématiques, tome 1,Algèbre, d’Arnaudiès et Fraysse, chez Dunod. La page web de Pascal Boyer (http ://www.institut.math.jussieu.fr/ boyer/) est très bien faite et propose des pistes intéressantes d’exercices et de développements à l’oral.

Nous utiliserons les notations suivantes. –ksera le plus souvent le corps de base. –k n est l’espace vectoriels des vecteurs lignes oun-uplets. –E F,G,U,V,W, ..., désigneront des espaces vectoriels. , –u,v,w, ..., désigneront des vecteurs, et parfois des applications linéaires. –0 E désigne le vecteur nul deEetid E l’identité deE. –f,g,h,ϕ,ψdésignerons des applications linéaires. –L k (E F) =L(E F)est l’espace vectoriel des applications linéaire deEdansF. –L(E) = End k (E) = End(E)est l’algèbre des endomorphismes deE. –KeretImdésigne le noyau et l’image d’une application linéaire. –dimdésigne la dimension d’un espace vectoriel. –rgdésigne le rang d’une application linéaire, d’une matrice, ou d’une famille de vecteurs. –Mat(BB ′  f)désigne la matrice de l’application linéairefdans des basesBetB ′ . –Detdésigne le déterminant d’une matrice ou d’un endomorphisme. –M(n k),M(n m k)sont les algèbres des matrices carréesn×nou rectangulaires n×m.

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Première partie

1.Sommes, produits, espaces quotients, supplémentaires

SoitIensemble fini ou infini d’indices etun (E i ) i∈I une famille d’espaces vectoriels. On munit le produit Q i∈I E i , c’est-à-dire l’ensemble des suites(v i ) i∈I , où pour chaque i,v i ∈E i , des lois suivantes : – addition(v i ) i∈I + (w i ) i∈I = (v i +w i ) i∈I , – multiplication par un scalaireλ(v i ) i∈I = (λv i ) i∈I ,λ∈k. 1.1. Lemme-Définition. i)Muni de ces deux lois Q i∈I E i est unk-espace vectoriel appelé l’espace vectoriel produit de la famille(E i ) i∈I . ii)Les projections canoniquesp i o : Q i∈I E i −→E i o ,(v i ) i∈I 7→v i o ,i o ∈Isont linéaires. Démonstration. Laissée en exercice. Rappelons que siEetFsont des espaces vectoriels, alorsL(E F)est naturellement unk-espace vectoriel. 1.2. Proposition.SoitEun espace vectoriel et(F i ) i∈I une famille d’espaces vectoriels. Il existe un isomorphisme naturel entre espaces vectoriels : ϕ: Y L(E F i )−→L(E Y F i ) i∈I i∈I Démonstration. Un élément du produit Q i∈I L(E F i )est une suitef= (f i ) i∈I , où pour chaquei∈I,f i :E−→F i est une application linéaire. Définissonsϕ(f)comme associant àv∈E, la suite(f i (v)) i∈I . Notonsp i o : Q i∈I F i −→F i o ,i o ∈I, les projections canoniques. Définissons une application linéaire ψ:L(E Y F i )−→ Y L(E F i ) i∈I i∈I parψ(g) = (p i ◦g) i∈I . Sif∈ Q i∈I L(E F i ),ψ◦ϕ(f)est la famille(p i ◦ϕ(f)) i∈I , avec pourv∈E,p i ◦ϕ(f)(v) =p i (f j (v)) j∈I =f i (v), c’est-à-direp i ◦ϕ(f) =f i . Doncψ◦ϕ est l’application identité de l’espace Q i∈I L(E F i ). Nous laissons le soin au lecteur de montrer en exercice queϕ◦ψest l’application identité deL(E Q i∈I F i ). Si(E i ) i∈I est une famille d’espaces vectoriels, on note a E i ou encore M E i  i∈ i∈I le sous-ensemble de Q i∈I E i formé des suites(v i ) i∈I telles quev i est nul sauf pour un nombre fini d’indicesi. 1.3. Lemme-Définition.i)Avec les notations précédentes, ` i∈I E i est un sous-espace vectoriel de Q i∈I E i qu’on appellesomme directe (externe)de la famille(E i ) i∈I . ii)Pour chaquei o ∈I, la restriction dep i o s’appelle laprojection canoniquede ` i∈I E i surE i o .

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