Probabilité et espérance
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Chapitre 2
Probabilite´etesp´erance
Danscequisuit,Ωde´signelensembledes´etatsdumondeωetBgle`la´eesedbrenemenv`disnocstse´re´ sur Ω. Si Ω est fini, on pourra supposer queB=Prp´ipsoriaenectrset´eseΩinit(s;)Ωa,drurpo,iniaulf ´enonce´es,supposerqueBsoit uneσxpearee,lberm`pelgl-aaσerbebsede´roneil-g`als.Nousnenous inte´ressonspasicia`expliquerend´etailspourquoicespr´ecautionssontne´cessairesetrenvoyonsaucours deprobabilit´esdeL3surcetaspect.
2.1Probabilit´eetespe´rancedesv.a.e´le´mentaires
De´nition:On appellesurit´eabilprob,B) toute fonctionP:B→[0,1] telle queP(Ω) = 1 et . . 1 P(AB) =P(A) +P(Bu`o,)ABd´esignesimpelemtnlnuoinABtout en exprimant qu’on suppose queAB=. 2 Unemanie`redinterpr´eterPest queP(Alerusem)oquencra´esperiuqle´pnueatovntev`enemeA ser´ealisera.CettemesurenanullementbesoindexprimerleschancesquaAis,eˆemer´edeser(malis comme nous le verrons avec laloi des grands-nombresria`ecaladsnnues,celapeutserv.)resice´rpa`sn Nous verrons ci-dessous des exemple d’autres mesures utiles. En revanche, nous attendons que cette espe´rancesoitlin´eairedanslesenssuivant:nousavonsvuqu`atoute´v`enementAnous pouvons faire correspondre la v.a.IAu,`oIA(ω) vaut 1 ou 0 selon que “A-aideresolqneul´etatdutves`-tsecnonuoiar monde”ωrappneita`taAapronuoSin.onlesd´neigElsenaec´preh´em(matue),atiqae´nilalve´e´tireeu´oq icisigniesimplementquepourtouse´ve`nementsAetBdeBettousr´eeslaetb, on aE(aIA+bIB) = aE(IA) +bE(IB) =aP(A) +bP(B), et en particulierE(IA) =P(Aerquet,´tannollvedserioilpxuoas)N. donn´euneprobabilite´PsurBceaner`erdnete´pseenua,commentl´E(Xnied´)truopeuo.aet.vB-mesurable.Nousnedonneronslaconstructionquedanslecase´l´ementaireetindiquerons,sanspreuve,`a quelleformulesonaboutilorsquon´etendlanotiondespe´ranceaumoyendesconstructionsclassiquesde lathe´oriedelamesure. Voicicecase´l´ementaire:consid´eronsunev.a.Xsur (Ω,B) et notonsX:=X(Ω). Supposons que cet ensemble des valeurs deXsoit fini :X={x1, x2, . . . , xn}N.uoe´t.velse.aunueletirsdsqonleme´ntaire. Pouri= 1..n, soitAi:={X=xi}, l’ensemble desωΩ tels queX(ω) =xi. Il est facile de voir . S que Ω =Aiet que lesAisont bien dansBpuisque la v.a.Xh`eseetsaphrpytoBmesurables i=1..n (expliquez cela!) ;doncP({X=xi}) =P(Aiuopiuotrt)tbesndien´exi∈ X. Cette petite construction nouspermetde´crireX=x1IA1+x2IA2+. . .+xnIAnntlavalenvisageaecale,en´vreize(nucdsruahce desdeuxmembresdele´galite´lorsqueωAinos,deusnsvorit´n´eaarli).Psues-dcieel´tuospecnare´pselede donc poserE(X) =E(x1IA1+x2IA2+. . .+xnIAn) =x1E(IA1) +x2E(IA2) +. . .+xnE(IAn),et donc n X E(X) =xipio`upi:=P(Ai) (=E(IAi)).(2.1) i=1
. S S 1 Defac¸onanalogue,onnoteraAiinnoal´rueAitout en exprimant qu’on supposequeAi6=Ajsii6=j iI iI 2 lesensdelalocutionmesurerlesp´erancenestpaspr´ecise´icietnouslaissonsaulecteurlalibert´edechoisirune intuition qui lui convienne. Avec l’exemple de paris sur une course de chevaux, nous lui proposons un peu plus loin un exempleou`cettemesuredelesp´eranceestpeut-ˆetredi´erentedecequiluivient`alesprit.Nousgeronsbientoˆtlesens dumotespe´rancedansunsensmath´ematique,dailleursd´eduitdeceluideprobabilite´,lemotmesureadmettantluiaussi unsensmathe´matique,quisera,lui,pre´cis´eenL3
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