Problèmes corrigés de mécanique et résumés de cours

Claude Gignoux Et Bernard Silvestre-Brac

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• Publié par: Musong
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• Langue: Français

Extrait

PRÉFACE
La mécanique est une science ancienne, mais elle n'a acquis ses lettres de noblesse
qu'à la fin du XVIIe siècle après les travaux de NEWTON. Un siècle plus tard, EULER
et surtout LAGRANGE ont apporté un œil nouveau et l'ont faite évoluer vers une for-
mulation non seulement belle esthétiquement mais également susceptible de s'appli-
quer à d'autres domaines de la physique. Cinquante ans plus tard, HAMILTON et
JACOBI ont marqué leur empreinte d'une touche complémentaire très importante.
Enfin, à la fin du XIXe siècle, POINCARÉ franchit une étape supplémentaire en intro-
duisant la géométrie dans l'analyse des problèmes physiques. Au cours du XXe siècle,
les physiciens ont fait fructifier les travaux de leurs illustres prédécesseurs.
Cet ouvrage s'adresse aux lecteurs connaissant déjà l'approche newtonienne de la
mécanique. De nombreux livres de problèmes - certains excellents - sont basés sur
cette approche. Par contre, la littérature francophone est très pauvre sur les formu-
lations de Lagrange et Hamilton et nous espérons que le présent ouvrage comblera
cette lacune.
Dans la même collection Grenoble Sciences, nous avons publié chez le même édi-
teur un livre intitulé La mécanique : de la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien,
synthèse accessible à un étudiant de second cycle de tous les aspects de la mécanique
moderne et de leur lien avec les autres disciplines de la physique. Il contient un
grand nombre d'exercices et de problèmes, beaucoup originaux, sur les théories de
Lagrange, Hamilton et Poincaré. Nous n'avons donné que les résultats ou des indi-
cations très succintes pour résoudre les problèmes. Certains problèmes peuvent être
jugés difficiles, ou tout simplement déroutants, et des lecteurs nous ont encouragés
à rendre plus accessibles la solution de ces exercices qui illustrent tous les aspects
abordés dans le livre. C'est l'objectif du présent ouvrage. Nous avons repris ici une
bonne partie des problèmes présentés dans le livre précédent, souvent en essayant
de les rendre plus clairs, parfois en essayant de leur trouver des prolongements
intéressants. Nous en avons proposé de nouveaux adaptés à la démarche entreprise.
Dans le même esprit, d'autres ont été retirés car jugés peu instructifs sur le plan de
la physique, même si les points mathématiques qu'ils recouvraient étaient des consé-
quences logiques d'aspects abordés dans le cours.
Bien évidemment, le présent ouvrage est un complément naturel du livre de cours ;
néanmoins nous avons tenu à ce qu'il soit autonome et, dans ce but, sont adjoints
à chaque chapitre des rappels de cours succints, suffisamment clairs et complets.
Ils sont suffisants pour aborder et résoudre les problèmes présentés en suite ; tout
concept ou notion nécessaire à l'obtention de la solution est présenté et développé
dans les résumés de cours. Le but est de familiariser l'étudiant aux approches lagran-
gienne et hamiltonienne, qui sont peut-être difficiles à appréhender, de montrer la6 PROBLÈMES CORRIGeÉS . MDÉCANIQUE
puissance de ce formalime et de permettre l'acquisition des techniques indispen-
sables à ce genre d'étude. Les problèmes sont choisis dans ce but et illustrent très
souvent des situations physiques concrètes et parfois de la vie de tous les jours.
Ce livre est structuré autour de huit chapitres intitulés :
1 - Formulation de Lagrange
2 - Systèmes lagrangiens
3 - Principe de Hamilton (appelé aussi principe de moindre action)
4 - Formalisme hamiltonien
5 - Formalisme de Hamilton-Jacobi
6 - Systèmes intégrables
7 - quasi-intégrables
8 - De l'ordre au chaos
Dans chaque chapitre, le lecteur trouvera :
> Un résumé assez approfondi, clair et succint, des notions de cours à retenir,
des points importants à mémoriser et les notations et symboles utilisés dans les
problèmes.
> Les énoncés des problèmes regroupés à la suite les uns des autres. Ces énoncés
sont suffisamment détaillés pour qu'avec les rappels de cours le lecteur ne soit
pas obligé d'aller chercher les informations nécessaires dans d'autres sources.
Toutes les fois qu'une figure s'avère nécessaire à la bonne compréhension du
texte, elle est dans l'énoncé. La difficulté progressive des problèmes est symbo-
lisée par un nombre croissant de petits carrés (de 1 à 3) ajoutés au titre.
> Les réponses détaillées des problèmes sont regroupées en fin de chapitre. Un
grand nombre de figures complémentaires est ajouté dans le corps du texte pour
illustrer les points essentiels ou pour éviter de longues périphrases.
Au début de l'ouvrage, un tableau synoptique regroupe, chapitre par chapitre,
l'ensemble de tous les problèmes traités en donnant pour chacun d'eux les références
(numéro, titre, page), la difficulté (niveau 1 à 3 correspondant au nombre de petits
carrés de l'énoncé), ainsi que les points forts, les aspects particuliers abordés.
Deux objectifs sont recherchés :
>/ Rendre concrètes, par des exemples simples et souvent académiques, des notions
apparemment très abstraites. Les méthodes de résolution ne sont pas forcément
les plus élégantes ou les plus rapides, mais il est important de vérifier, sur ces
exemples simples, la bonne maîtrise de ces nouveaux outils de la mécanique. Par-
fois un même problème, ou une même situation physique, est repris dans un cha-
pitre ultérieur avec de nouveaux outils afin d'insister sur ce qu'apporte chaque
méthode particulière.
</ Montrer la puissance de ces outils en physique pour des domaines aussi variés
que la mécanique traditionnelle, l'optique, l'électromagnétisme, les ondes en
général et la mécanique quantique. Sur ces thèmes de physique passionnants
et parfois d'actualité, nous ne traiterons que l'aspect mécanique. Cependant lePRÉFACE 7
lecteur pourra satisfaire sa curiosité en cherchant, avec les mots clés, des infor-
mations complémentaires d'abord dans une encyclopédie de bonne qualité,
puis sur Internet avec un moteur de recherche tel que Google (et pour des sujets
moins classiques avec Yahoo). Il y trouvera aussi bien des cours complets, que
des articles récents.
Nous ne pouvons que fortement conseiller au lecteur de refaire quelques-unes des
applications ou figures proposées dans les solutions détaillées. Les auteurs ont uti-
lisé les logiciels de dessin xfig et xnigrace, que l'on peut télécharger gratuitement sur
Internet. Les résolutions d'équations différentielles ont été effectuées grâce au logi-
ciel de calcul formel Mathematica.
>- Remerciements
Le comité de lecture de ce livre doit être remercié dans son ensemble, pour toutes
les remarques et suggestions qui ont permis une cohérence plus grande et une
meilleure qualité pédagogique de l'ensemble. Nous avons également apprécié la
disponibilité des étudiants dont l'enthousiasme et les questions de toutes sortes
nous ont grandement aidés à rendre la matière plus compréhensible.
Les personnes en charge de l'édition, Nicole SAUVAL et Jean BORNAREL, ont été pour
nous des conseillers compétents ; enfin, nous ne saurions oublier Sylvie BORDAGE,
Julie RIDARD et Thierry MORTURIER dont le rôle dans l'élaboration des figures et la
mise en page fut très précieux.
Un ouvrage n'atteint jamais la perfection, ni dans la forme, ni dans le fond. Si,
malgré le soin apporté par les auteurs dans la rédaction, vous repérez des erreurs,
des imperfections ou des incohérences, nous vous serions très reconnaissants de
nous les signaler sur l'une des deux adresses électroniques suivantes :
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