Quatre pas vers l Algebre
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Promenade Mathematique Quatre pas vers l'Algebre Quang-Thai Ngo, Aout 2002

  • ensembles finis

  • regles de jeu

  • structures algebriques de n2

  • psi ? ?

  • sigma ? ?

  • upsilon ? ?

  • lambda ? ?

  • phi ? ?

  • anneaux z


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Publié le 01 août 2002
Nombre de lectures 96
Langue Français

Extrait

´Promenade Mathematique
Quatre pas vers l’Alg`ebre
Quang-Thai Ngo, Aoutˆ 2002Table des mati`eres
1 Logique et math´ematiques 4
I) Le calcul propositionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
A) Variables propositionnels et connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . 4
B) Tableaux de v´erit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II) Le calcul des pr´edicats.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
A) Pr´edicats et quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
B) Applications au raisonnement math´ematique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
C) Algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
D) R´edaction d’une d´emonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Langage des ensembles 20
I) Notion d’ensembles et de relations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
A) Ensembles et ´el´ements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
B) Op´erations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
C) Relations binaires dans un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
D) Ensemble ordonn´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
E) Ensembles quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
II) Correspondances et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
A) Applications, ´equations, injections, surjections et bijections . . . . . . . . . . 33
B) Composition des applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
C) Applications inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
D) D´ecomposition canonique d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Les ensembles usuels de nombres 43
I) Construction de l’ensemble des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
A) Axiomes de P´eano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
B) L’addition, la multiplication et propri´et´es subs´equentes . . . . . . . . . . . . 46
C) Relation d’ordre dans l’ensemble des entiers naturels, unicit´e deN . . . . . . 50
II) Construction deZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2A) Structures alg´ebriques deN /< . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
B) L’anneauZ et propri´et´es premi`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
C) Relation d’in´egalit´e dansZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
III) Construction deQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2A) Structures alg´ebriques deZ /< . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Chapitre 0 Page 2
B) Le corpsQ et propri´et´es premi`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
C) Relation d’ordre dans le corpsQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
IV) Les nombres d´ecimaux et les nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
A) L’anneau des nombres d´ecimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
B) Repr´esentation d´ecimale illimit´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
C) Application `a la construction deR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4 D´enombrement 87
I) Ensembles finis, infinies et d´enombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
A) Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
B) Propri´et´es li´ees aux intervalles deN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
C) Les ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
D) Ensembles d´enombrables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
II) D´enombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
A) Propri´et´e des cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
B) Application d’un ensemble fini dans un autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
C) Injection d’un ensemble fini dans un autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
D) Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
E) Probl`emes divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Alg`ebreAlphabet grec
Il est utile de connaˆıtre l’alphabet grec. Grˆace aux “ ´equivalences ” avec l’alphabet romain,
on m´emorisera plus facilement. On utilisera aussi en math´ematique quelques lettres h´ebra¨ıques
commeℵ (lire aleph).
Equivalent alphabet romain Nom Minuscule Majuscule
a alpha α A
b bˆeta β B
c chi χ X
d delta δ Δ
e epsilon ε E
f phi φ Φ
g gamma γ Γ
h ˆeta η H
i iota ι I
j phi (autre) ϕ /
k kappa κ K
l lambda λ Λ
m mu μ M
n nu ν N
o omicron o O
p pi π Π
q thˆeta θ Θ
r rho ρ P
s sigma σ Σ
t tau τ T
u upsilon υ Υ
v / / /
w om´ega ω Ω
x xi ξ Ξ
y psi ψ Ψ
z zˆeta ζ ZChapitre 1
Logique et math´ematiques
Il y a une diff´erence essentielle entre les math´ematiques et les sciences exp´erimentales : la
v´eracit´e d’une relation math´ematique vient de ce qu’on la d´emontre a` partir des r`egles du jeu que
l’on s’est donn´ees, et non pas parce qu’elle est v´erifi´ee exp´erimentalement.
La logique ´etant l’´etude de la construction des propri´et´es et de leurs propri´et´es d’emploi,
les diff´erents ´el´ements de cette science sont `a la base de tous les raisonnements math´ematiques.
Ceux que nous allons consid´er´es sont tr`es particuliers, ils constituent ce que l’on appelle le calcul
propositionnel. Ils ´etablissent les r`egles du raisonnement correct, en excluant les processus psy-
chologiques. Justifier une proposition c’est la rattacher a` d’autres propositions d´eja` admises, la
d´eduire de ces propositions. Bien que le raisonnement math´ematique ne se limite pas a` des propo-
sitions ´el´ementaires d’inclusion son principe est un peu pr`es le mˆeme : identifier une proposition
nouvelle a` des propositions d´ej`a admises, faire apparaˆıtre des tautologies (rappelons que autole-
gein signifie en grec «dire la mˆeme chose»). D´emontrer une proposition c’est la rendre ´evidente `a
autrui.
L’´etude des r`egles de la logique remonte au moins `a Aristote (384 - 322 AC), l’´etude
math´ematique du calcul propositionnel `a Augustes De Morgan (1806 - 1871) et a` George Boole
(1815 - 1864). Elle est donc bien ant´erieure `a la th´eorie des ensembles et d’une port´ee `a priori
plus vaste.
I) Le calcul propositionnel
Le calcul propositionnel permet d’exprimer les termes, les propositions, les relations par
des symboles simples, et de ramener les op´erations logiques `a des calculs s’effectuant selon des
r`egles pr´ecises.
A) Variables propositionnels et connecteurs logiques
D´efinition
Onappellerapropositionouassertiontoute´enonc´edontonpeutdirequ’elleestvraieoufausse.
Par exemple, les assertions«6 est un nombre premier» est une proposition. Au contraire,«fermer
laporte!»,«quelˆageavez-vous»n’ensontpas.Onpeutrepr´esenterlespropositionspardeslettres
A,B,...,A.Ceslettressontdesvariablespropositionnels.Onutiliselesparenth`esespours´eparer
les propositions.
Les connecteurs logiques sont des op´erations permettant de cr´eer de nouvelles propositions `a
partir d’assertions existantes p et q. Voici les diff´erents connecteurs logiques :
N´egation ¬ (non) :
l’assertion¬p (non p) est vraie quand p est fausse, et fausse quand p est vraie.
Disjonction ∨ (ou) :
p∨q (p ou q) est vraie quand l’un au moins des deux assertions p, q est vraie.Chapitre 1 Page 5
Conjonction ∧ (et) :
p∧q est vraie quand les deux assertions p, q sont vraies `a la fois.
Implication ⇒ (fl`eche) :
p ⇒ q est vraie quand p est fausse (le faux implique n’importe quoi) ou quand p, q sont vraies.
Equivalence ⇔ (double fl`eche) :
p ⇔ q est vraie si p, q sont toutes les deux vraies ou toutes les deux fausses.
Un assemblage ou un mot est une suite finie de symbole :⇒)¬∨(pq⇔.
On appelle forme propositionnel tout assemblage ϕ pour lequel il existe une suite finie ϕ , ϕ ,1 2
..., ϕ =ϕ d’assemblages, v´erifiant pour tout i<n l’une des conditions :n
ϕ est une variable propositionnel.
◦1 ) j <i tel que ϕ =¬(ϕ )i j
◦ 02 ) Il existe j, j <i tels que ϕ =(ϕ )⊥(ϕ 0) ou` ⊥ repr´esente un des connecteurs logiques.1 j j
Un raisonnement est un proc´ed´e indirect de justification, soumis par l`a aux r`egles de la lo-
gique. On dit qu’une proposition math´ematique est d´emontr´ee lorsqu’on montre qu’elle d´ecoule
logiquement et n´ecessairement d’autres propositions d´ej`a admises.
Remarque
◦1 ) Tout ´enonc´e a une et une seule des formes :

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