Récurrence et limites.

Description

Chapitre 4 Récurrence et limites. I Généralités sur les suites. 1 Rappels de vocabulaire et notations. Soit (un) la suite définie pour tout n par un = n− 2n+ 1 Définition • le nombre n de l'exemple précédent s'appelle l'indice, ou le rang. • u(n) = n− 2n+ 1 s'appelle le terme général de la suite. • La suite elle même peut être notée (un) avec des parenthèses ou bien tout simplement u, comme une fonction.

• u0
• u0 ∈
• propriété précédente
• un2
• récurrence
• preuve de la proposition
• preuve
• preuves
• proche au proche
• proche en proche
• exercice
• exercices
• définitions
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Sujets

• Distance
• Récurrence
• Preuve
• Exercice
• Precedent
• Définition
• Proposition

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Extrait



Chapitre

4

Récurrence

I

1

et

limites.

Généralités sur les suites.

Rappels de vocabulaire et notations.

Soit(u n )la suite définie pour toutnparu n = n n + − 1 2 Définition •le nombrenprécédent s’appelle l’indice, ou le rang.de l’exemple −2 •u(n) = n n + 1 s’appelle le terme général de la suite. •La suite elle même peut être notée(u n )avec des parenthèses ou bien tout simplementu, comme une fonction. Dans la suite du cours, sauf mention du contraire, les suites sont définies surN, mais une suite peut être définie à partir d’un certain rang.

2 Définition explicite d’une suite.

DéfinitionLa suite(u n )est définie de manière explicite s’il existe une fonction numériqueftelle que, pour tout entiern,u n =f(n). − ⋆ExempleDans l’exemple précédent,u n =f(n)avecf:x7→− x x2 1+ . Représentation graphique.La représentation graphique d’une suite définie de manière explicite est formée de points de coordonnées(n;u n )dans un repère.

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CHAPITRE4.RÉCURRENCEETLIMITES.

On remarque que les points se trouvent sur la représentation graphique def.

Donner, avec la calculatrice, les premiers termes de la suite(u n )de terme généralu n = 3n n+ −1 2 , puis la représentation graphique.

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La récurrence.

a. Définition par récurrence d’une suite.

DéfinitionUne suite suite(u n )est définie par récurrence si on donne son premier termeu 0 et si on sait calculer le termeu n+1 en fonction du terme précédentu n pour toutn. ⋆ExempleSoit la suite définie par :

  

u 0 = 3 1 ier u n+1 = u n + 1 pour tout entn

Xu 1 = 1 1+ 1 = 4 . u 0 1 1 4 = = Xu 2 1  = + 1 . u 4  5 + 1 Xu 3 = 1 = 1+ 5 9 5 = 1 1+ . u 2 La relation qui lieu n etu n+1 s’appelle une relation de récurrence. Cette relation permet, éventuellement avec un temps long, de calculer n’importe quel terme de la suite.

b. Représentation graphique des termes d’une suite récurrente.