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Sous groupes additifs de rangs denombrables dans un corps separablement clos

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Sous-groupes additifs de rangs denombrables dans un corps separablement clos Thomas Blossier 25 novembre 2010 Resume Pour tout entier n, on construit des sous-groupes, infiniment definissables de rang de Lascar ?n, du groupe additif d'un corps separablement clos. 1 Introduction L'etude de certains groupes infiniment definissables dans les corps separablement clos joue un role important dans la preuve de la conjecture de Mordell-Lang en carac- teristique positive [10]. Dans la demonstration du theoreme de Mordell-Lang pour les modules de Drinfeld, c'est l'etude de la structure «modulaire» de certains sous-groupes additifs qui est utilisee [9]. La classe des sous-groupes additifs est par-elle meme inte- ressante, car tres riche dans le contexte de la stabilite. Il est possible, en particulier, de construire des sous-groupes additifs de «rangs petits» avec certaines proprietes : par exemple une famille de groupes minimaux ?-categoriques deux a deux orthogo- naux, des groupes minimaux avec des structures modulaires particulieres, des groupes minimaux «minces non tres minces» (voir [1], [2]). On peut egalement construire des groupes ranges de rangs infinis. En fait, dans [1], des sous-groupes additifs de rang ? sont construits. Une construction de types triviaux de rang ? avait ete realisee au- paravant dans l'article [6] et ses auteurs remarquaient alors qu'il devait etre possible d'obtenir des types d'autres rangs denombrables par des constructions analogues.

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Publié le 01 novembre 2010
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Langue Français

Sous-groupes additifs de rangs d´enombrables dans un corps
s´eparablement clos
Thomas Blossier
25 novembre 2010
R´esum´e
Pour tout entier n, on construit des sous-groupes, infiniment d´efinissables de
nrang de Lascar ω , du groupe additif d’un corps s´eparablement clos.
1 Introduction
L’´etude de certains groupes infiniment d´efinissables dans les corps s´eparablement
clos joue un rˆole important dans la preuve de la conjecture de Mordell-Lang en carac-
t´eristique positive [10]. Dans la d´emonstration du th´eor`eme de Mordell-Lang pour les
modules de Drinfeld, c’est l’´etude de la structure«modulaire» de certains sous-groupes
additifs qui est utilis´ee [9]. La classe des sous-groupes additifs est par-elle mˆeme int´e-
ressante, car tr`es riche dans le contexte de la stabilit´e. Il est possible, en particulier,
de construire des sous-groupes additifs de «rangs petits» avec certaines propri´et´es :
par exemple une famille de groupes minimaux ω-cat´egoriques deux `a deux orthogo-
naux, des groupes minimaux avec des structures modulaires particuli`eres, des groupes
minimaux «minces non tr`es minces» (voir [1], [2]). On peut ´egalement construire des
groupes rang´es de rangs infinis. En fait, dans [1], des sous-groupes additifs de rang
ω sont construits. Une construction de types triviaux de rang ω avait ´et´e r´ealis´ee au-
paravant dans l’article [6] et ses auteurs remarquaient alors qu’il devait ˆetre possible
d’obtenir des types d’autres rangs d´enombrables par des constructions analogues. La
g´en´eralisation de ces constructions s’av`ere techniquement assez complexe. L’objet du
pr´esent papier est d’expliciter, pour tout entier n, des constructions de sous-groupes
nadditifs de rang d´enombrable ω . Notons qu’a` notre connaissance, on ne sait pas pour
ωl’instant construire un type de rang d´enombrableω dans un corps s´eparablement clos.
Pour toute la suite, nous fixons un corps L s´eparablement clos non alg´ebriquement
clos de caract´eristique p. On appelle sous-groupe additif, un sous-groupe de (L,+)
infinimentd´efinissabledansL.Nousg´en´eralisonsenfaitlaconstructiondesous-groupes
additifs de rang ω pour obtenir :
ω1. Pour tout ordinal λ < ω , une construction de sous-groupes additifs non mono-
ωbas´es de rang U ´egal `a λ (voir Corollaire 28). (Notons que ω d´esigne l’ordinal ω
Mathematics Subject Classification : 03C45, 03C60, 12L12
1ω`a la puissance ω, en tant qu’exponentielle ordinale. En particulier ω est d´enom-
brable.)
ω2. Pour toute famille d´enombrable (λ ) d’ordinaux strictement inf´erieurs a` ω ,i i2ω
une construction de familles de sous-groupes additifs monobas´es G deux `a deuxi
orthogonaux et de rang U respectif ´egal a` λ (voir Corollaire 32).i
Rappelons tr`es rapidement certains r´esultats bien connus sur les corps s´eparable-
ment clos : la th´eorie des corps s´eparablement clos de caract´eristique p et de degr´e
d’imperfection ν est compl`ete, pour chaque p et ν fix´es [8]. Pour obtenir l’´elimination
des quantificateurs, il suffit d’ajouter au langage, des fonctions appel´ees λ-fonctions
(voir [4] ou [5]). On renvoie `a l’introduction de [7] pour les notations et d´efinitions
concernant les λ-fonctions, mais elles ne seront pas n´ecessaires pour la lecture de nos
constructions.
Lacloˆtured´efinissabledeA,not´eedcl(A),estlepluspetitsous-corpsdeLcontenant
A et clos par les λ-fonctions et la cloˆture alg´ebrique de A, not´ee acl(A), est la clˆoture
s´eparable de A.
Nous fixons K une sous-structure ´el´ementaire de L et nous supposons que L est
+jKj -satur´e.Par´eliminationdesquantificateurs,letyped’unuplea¯surK estd´etermin´e
par la donn´ee des ´equations alg´ebriques satisfaites par une ´enum´eration des points de
dcl(K,a¯) en fonction des points de (K,a¯). Nous noterons KhAi le mod`ele premier
au-dessus de A[K qui est ´egal a` acl(K,A).
pFixons b 2 K nK . Afin de simplifier les notations, nous ne consid´ererons par la
suite que des ´el´ements ayant des arbres binaires de composantes (sur b) : soit x un
´el´ement de L,
p p1. x a un arbre binaire d’hauteur 1 si x =x +bx avec x et x dans L. On appelle0 10 1
alors x et x les composantes de niveau 1 de x et on note x l’uple x x .0 1 =1 0 1
p p
2. x a un arbre binaire d’hauteur n+1 si x = x +bx avec x et x dans L ayant0 10 1
des arbres binaires d’hauteur n. On appelle alors composantes de niveau n+1
de x, l’ensemble des composantes de niveau n de x et de x . On note x la0 1 =n+1
concat´enation de x avec x .0=n 1=n
3. x a un arbre binaire d’hauteur infinie si x a un arbre binaire d’hauteur n pour
tout n. On note alors x l’uple de ses composantes.1
On repr´esente les arbres binaires de la mani`ere suivante :
x
x x0 1
x x x x00 01 10 11
Remarque. L’ensembleB des´el´ements de L ayant un arbre binaire d’hauteur n (surn
b) est un sous-groupe additif d´efinissable (sur b). On notera B le sous-groupe additif1
2infiniment d´efinissable constitu´e des ´el´ements de L ayant un arbre binaire d’hauteur
infinie.Remarquonsquepar´eliminationdesquantificateurs,letypesurK d’un´el´ement
a de B est d´etermin´e par le type d’isomorphisme de K(a ) dans le langage de pur1 1
corps. Notons qu’un ´el´ement a dans B est interd´efinisable avec l’uple a au-dessusn =n
de b. Quand nous ne consid´ererons qu’une partie des composantes de niveau n de a
dans B , nous utiliserons la notation a pour I [= n], ou` [= n] d´esigne l’ensemblen I
des indices permettant d’´enum´erer les composantes de niveau n. Nous utiliserons les
mˆemes notations pour un k-uple a d’´el´ements de B , par exemple a pour une partien I
des composantes de niveau n de a pour I k[=n].
Nous allons par la suite construire des types dans B en utilisant uniquement1
des ´equations additives (c’est-`a-dire des ´equations d´efinies par des polynoˆmes additifs
ou p-polynoˆmes) sur les composantes x . Les types additifs obtenus seront alors des1
g´en´eriques de sous-groupes additifs connexes (voir [3, Definition 2.5 et Lemma 2.6]).
OnnoteraX ,respectivementX lesind´etermin´esdespolynoˆmesadditifsportant=n 1
sur les composantes x , respectivementx . On notera RU le rang U et RT le rang de=n 1
transcendance. (Rappelons que RT(x;K) est par d´efinition le degr´e de transcendance
de Khxi sur K.)
Dans la section 2, nous commenc¸ons par d´efinir un type de relations entre les com-
posantes, que nous appelons maillage, et qui nous permet selon la complexit´e l de ces
maillages, d’obtenir, dans la section 3, des sous-groupes additifs avec rang U sup´erieur
l lou´egal`aω etensuite,dansla section4, de majorerce rang parω enutilisantle mˆeme
type de proc´ed´e que pour la construction de sous-groupes additifs de rang ω dans [1].
2 Maillage
Pour k > 0, on note un k-uple a, a = (a ,...,a ) ou simplement a =a ...a .1 k 1 k
D´efinition 1. On d´efinit par induction sur l 1, les (k ,...,k )-uples :1 l
(i) Un (k)-uple est un k-uple d’´el´ements de L.
(ii) Un (k ,...,k )-uple est un k -uple de (k ,...,k )-uples.1 l+1 1 2 l+1
La complexit´e et la d´ecomposition d’un (k ,...,k )-uple sont respectivement l et1 l
(k ,...,k ). On dira´egalement que la complexit´e d’une d´ecomposition u = (k ,..,k ) est1 l 1 l
l et on d´efinit s(u) :=k k k .1 2 l
Remarque.
(i) On se permet, si besoin, de regarder un (4,3)-uple, comme un (12)-uple, un
(3,4)-uple, ou un (2,3,2)-uple. De mani`ere g´en´erale un uple a de d´ecompositionu peut
aussi ˆetre regard´e comme un s(u)-uple d’´el´ements de L, et b 2 a signifie que b est un
de ces s(u) ´el´ements.
0 0(ii) Pour simplifier les notations, si u = (k ,...,k ) et v = (k ,...,k ) sont deux01 l 1 l
0 0d´ecompositions, la d´ecomposition (k ,...,k,k ,...,k ) se note indiff´eremment (u,v),1 l 01 l
0 0(k ,...,k,v) ou (u,k ,...,k ) .01 l 1 l
D´efinition 2. On dit qu’une d´ecomposition est paire si elle est de la forme v = (2k,u)
ou` u est une d´ecomposition. On note dans ce cas v/2 la d´ecomposition (k,u). Enfin
3si x et x sont deux uples de d´ecomposition (k,u), on regarde l’uple x x comme un1 2 1 2
uple de d´ecomposition (2k,u).
D´efinition 3. Ond´efinitparinductionsurl 1etn 1,les maillagesdecomplexit´el
etdehauteurn,portantsurdescouples(x,y)d’uplesdecomplexit´el etrespectivement
de d´ecompositions u et v(u,n).
(i) Maillage de complexit´e 1 et de hauteur 1 :
k^
1 p pM (x,y) := x =y +byi(k) i i+1
i=1
pour x = (x ,...,x ) un (k)-uple et y = (y ,...,y ) un (k + 1)-uple. On pose1 k 1 k+1
v((k),1) := (k+1).
(ii) Maillage de complexit´e l et de hauteur n+1 :
n+1 1 nM (x,y) :=9z M (x,z)^M (z,y)u u w
ou` x, y, et z sont des uples de complexit´e l et respectivement de d´ecompositions u, v
et w tels que w =v(u,1) et v =v(w,n). On pose v(u,n+1) :=v =v(v(u,1),n).
(iii) Maillage de complexit´e l+1 et de hauteur 1 :
k^
01 k +2M (x,y) := M (x ,y y )0 0 i i i+1(k,k ,u) (k ,u)
i=1
0ou` xety sontdesuplesdecomplexit´el+1etrespectivementded´ecomposition(k,k ,u)
0 0 0et v((k,k ,u),1) := (k+1,v((k,u),k +2)/2).
x xi+1i
0 0k +2 k +2M M0 0(k ,u) (k ,u)
y y yi i+1 i+2
0Remarque 4. On v´erifiefacilementquev estbiend´efinie,c’est-`a-direque pour toutk
0 0et u, v((k ,u),k +2) est paire. Pour cela on remarque par induction sur la complexit´e
0 0 0que si u = (k ,...,k ) et v(u,1) = (k ,...,k ) alors k = k + 1 et pour tout i > 1,1 n 11 n 1
0 0k >k . Notons que si n 2 alors on a ´egalement la relation k =k +1.i 2i 2
La propri´et´e suivante se v´erifie ´egalement par simple induction.
4Propri´et´e 5. Pour chaque d´ecomposition u, il existe une suite strictement croissante
(m ) d’entiers strictement positifs, une suite (I ) ou` I s(u)[=m ],u,n n>0 u,n n>0 u,n u,n
et pour chaque n> 0, un syst`eme S d’´egalit´es entre les variables appartenant a` l’upleu,n
s(u)X ou` X est un uple de s(u) ind´etermin´ees, telles que pour tout uple x 2 B=m 1u,n
de d´ecomposition u,
n(i) 9yM (x,y)$S (x)u,nu
(ici S (x) signifie que l’uple x satisfait le syst`eme S );u,n =m u,nu,n
(ii) si S (x) alors :u,n
n– x est l’unique y tel que M (x,y);Iu,n u
– pour tout j 2 s(u)[= m ], il existe i2 I tel que x = x , en particulieru,n u,n j i
x et x sont interd´efinissables.Iu,n
3 Grills de complexit´e arbitraire
Nous donnons dans cette section une construction de types de rang U sup´erieur ou
l´egal `aω . On utilisepour cetteconstructionun maillageentreles composantesqui nous
permettra dans la section suivante de compl´eter cette construction afin d’obtenir des
ltypes de rang U ´egal `a ω .
Pour la suite, fixons une d´ecomposition u de complexit´e l.
D´efinition 6. On d´efinit le grill de d´ecomposition u par
1^
s(u)Grill :=x2B ^ S (x)u u,n1
n=1
ou` (S ) est la famille de syst`emes d’´egalit´es entre certaines composantes vue dansu,n n>0
la Propri´et´e 5.
s(u)Lemme 7. Le grill de d´ecomposition u est un sous-groupe additif deB , infiniment1
d´efinissable sur b et connexe.
D´emonstration. Le fait que Grill est un sous-groupe additif infiniment d´efinissable suru
b est´evident puisque les syst`emes S correspondent `a des´egalit´es entre composantes.u,n
D’autre part, il est facile de v´erifier que «x 2 Grill » n’impose pour aucun n > 0 deu
relations alg´ebriques, au sens des corps, entre les ´el´ements de x . Donc les ´equationsIu,n
«x2 Grill »etlesin´equations«les´el´ementsdex sontalg´ebriquementind´ependantsu Iu,n
au-dessus de K» pour tout n > 0, d´etermine un type complet sur K, qui est alors
l’unique g´en´erique de Grill sur K. Le groupe Grill est donc connexe.u u
On note par la suite p le type g´en´erique de Grill au-dessus de K.u u
lNous allons montrer que Grill est de rang U sup´erieur ou ´egal a` ω . Pour cela, onu
utilise le fait que p a un arbre de p-composantes qui est minor´e au sens suivant.u
D´efinition8. Nousd´efinissonsparinductionsurlacomplexit´elanotiond’arbreminor´e
sur des uples de B :1
(i) Un uple a de complexit´e 1 a un arbre minor´e sur K s’il existe deux suites stric-
ntement croissantes (i ) et (k ) d’entiers, et une suite d’uples a de complexit´en n<ω n n<ω
51 et de d´ecomposition (k ), telles que pour chaque n,n
n- a a ;=in
n n n n n n- a = (a ,...,a ) tel que a 2/ Kha ,...,a i pour j 2f1,...,k g.n1 j j+1k kn n
(ii) Un uple a de complexit´e l+1 a un arbre minor´e sur K s’il existe deux suites
nstrictement croissantes (i ) et (k ) d’entiers, et une suite d’uples a de com-n n<ω n n<ω
plexit´e l+1 et de d´ecomposition (k ,v ), telles que pour chaque n,n n
n- a a ;=in
n n n n n n-a = (a ,...,a )telquel’uplea decomplexit´elaunarbreminor´esurKha ,...,a i1 k j j+1 kn n
pour tout j 2f1,...,k g.n
0 0Remarque. Si un uple a a un arbre minor´e sur K K (ou` K est une extension
´el´ementaire de K) alors cet uple a un arbre minor´e sur K.
lLemme9. Si un uplea de complexit´el a un arbre minor´e surK, alors RU(a/K)ω .
D´emonstration. Soient(i ) et(k ) deuxsuitesstrictementcroissantesd’entiers,n n<ω n n<ω
net (a ) une suite d’uples de complexit´e l comme dans la d´efinition ci-dessus.n<ω
La preuve se fait par induction sur l.
Si l = 1, pour tout n<ω,
knX
n n n nRU(a/K) RU(a /K) RU(a /Kha ,...,a i).j j+1 kn
j=1
n n nParhypoth`esepourtoutj 2f1,...,k g,RU(a /Kha ,...,a i) 1,doncRU(a/K)n j j+1 kn
k , ceci pour tout n<ω. Par cons´equent RU(a/K)ω.n
0Si l =l +1, pour tout n<ω,
knX
n n n nRU(a/K) RU(a /K) RU(a /Kha ,...,a i).j j+1 kn
j=1
n 0Parhypoth`esepourtoutj 2f1,...,k g,l’uplea decomplexit´el aunarbreminor´esurn j
0n n n n n lKha ,...,a i et donc par hypoth`ese d’induction RU(a /Kha ,...,a i) ω .j+1 k j j+1 kn n
0l lD’ou` pour tout n<ω, RU(a/K)ω k et donc RU(a/K)ω .n
0´Etantdonn´esunmaillagesuruncouple(a,b)etunsous-uplea dea,nousutiliserons
0par la suite le sous-uple de b constitu´e des composantes de a dans b.
D´efinition 10. Soient n> 0, a un uple de d´ecomposition u et b un uple de d´ecompo-
nsition v = v(u,n) tels que M (a,b). Soient (a ,...,a ) et (b ,...,b ) les ´enum´e-1 1u s(u) s(v)
nrations des uples a et b. Pour 1 i s(u), on note C l’ensemble des indices dansu,i
f1,...,s(v)g´enum´erant les´el´ements dus(v)-upleb qui correspondent«naturellement»
par le maillage `a des composantes de a .i
Cetensemblened´ependquedeu,ietnetsed´efinitdemani`erepr´eciseparinduction
sur la complexit´e de u et la hauteur n :
11. C =fi,i+1g pour 1ik,(k),i
n+1 1
n2. C =[ C pour 1is(u),j2Cu,i u,i v(u,n),j
601 0 0 k +23. C = (i 1)s(v((k ,u),k +2)/2)+C pour 1 i k0 0 0(k,k ,u),(i 1)s((k ,u))+j (k ,u),j
0et 1j s((k,u)).
Pour 1 i s(u), on dira que x est une composante de a au niveau de b pari
nrapport a` a si x =b pour un j 2C .j u,i
0(Pour n = 0, on pose C =fig.)u,i
La propri´et´e suivante se v´erifie par induction sur la complexit´e et la hauteur du
maillage.
0 0 0Propri´et´e 11. Soient n > 0, a = (a ,...,a ) un uple de d´ecomposition u = (k,u) et1 k
0 0 0 nb = (b ,...,b ) un uple de d´ecomposition v = v(u,n) = (k+n,v ) tels que M (a,b)1 uk+n
0 0(ici les a sont des uples de d´ecomposition u , ou des ´el´ements si la complexit´e de a esti
01). Si x est un ´el´ement de a appartenant (ou, si a est de complexit´e 1, ´egal) a` a alorsj
l’une des composantes de x au niveau de b par rapport `a a appartient (ou est ´egale)
0 0`a b et aucune composante de x n’appartient (ou n’est ´egale) a` b pour 1 l < j. Le
j l
0 0 0maillage ´etant sym´etrique, on a la mˆeme propri´et´e en consid´erant a , b et b pourj j+n l
j +n<lk+n.
nLemme 12. Les ensembles C sont des intervalles tels que pour tout n 1,u,i
n n1. minC = 1 (et maxC =s(v(u,n)) sym´etriquement);u,1 u,s(u)
n n n n2. minC < minC maxC < maxC pour tout 1i<s(u).u,i u,i+1 u,i u,i+1
D´emonstration. Le passage de la hauteur n a` la hauteur n+1 est imm´ediat. Suppo-
0sons le r´esultat v´erifi´e pour une d´ecomposition (k ,u) et consid´erons la d´ecomposition
0 0(k,k,u). Rappelons que pour tout 1ik et tout 1j s((k ,u)),
01 0 0 k +2C = (i 1)s(v((k ,u),k +2)/2)+C .0 0 0(k,k ,u),(i 1)s((k ,u))+j (k ,u),j
1 0Il suit par induction que les ensembles C , pour 1 l s((k,k,u)), sont0(k,k ,u),l
0des intervalles v´erifiant la premi`ere propri´et´e. Soit 1 l < s((k,k ,u)) alors si l =
0 0(i 1)s((k ,u))+j avec 1ik et j <s((k ,u)) la seconde propri´et´e suit´egalement
0par induction.Sinonl+1 =is((k ,u))+1. Par la Propri´et´e11 et la premi`erepropri´et´e
de ce lemme on obtient,
1 0 0 1minC < is(v((k ,u),k +2)/2)+1 = minC0 0(k,k ,u),l (k,k ,u),l+1
0 0 1< (i+1)s(v((k ,u),k +2)/2) = maxC 0(k,k ,u),l
1< maxC .0(k,k ,u),l+1
D´efinition 13. Soient n > 0, a un uple de d´ecomposition u et b un uple de d´ecom-
n 0position v = v(u,n) tels que M (a,b). Si a = (a ,...,a ) est un sous-uple d’´el´ementsk lu
0cons´ecutifs de l’uple a, on note alors a le sous-uple de b constitu´e des ´el´ementsniv(b/a)
de b qui correspondent «naturellement» par le maillage `a des composantes d’´el´ements
0 0de a. Plus pr´ecis´ement a est le sous-uple (b ,...,b ) d’´el´ements cons´ecutifs de bs tniv(b/a)
n ntel que s = minC et t = maxC . Notons que cette op´eration est transitive dans le
u,k u,l
7msens suivant : si c est un uple de d´ecomposition w = v(u,n+m) tel que M (b,c) (ouv
n+mde mani`ere ´equivalente tel que M (a,c)) alorsu

0 0a = a .niv(c/a) niv(b/a)
niv(c/b)
0 0(Pour n = 0, on pose a =a.)niv(a/a)
0D´efinition14. Pourlasuiteonappelle uple extraita d’unupleadecomplexit´el,tout
uple (ou´el´ement) apparaissant dans la d´ecomposition dea. Cette notion est d´efinie par
induction sur la complexit´e l :
0 0– si l = 1 et a = (a ,...,a ) alors a est un uple extrait de a si et seulement si a =a1 k
0ou a =a ou` a est l’un des´el´ements de l’uple a. Dans le premier cas on dira quei i
0a est un uple extrait de complexit´e 1, dans le second un uple extrait de complexit´e
0.
0– si a = (a ,...,a ) est un k-uple (a ,...,a ) d’uples de complexit´e l alors a est un1 1k k
0 0uple extrait de a si et seulement si a = a (dans ce cas a est un uple extrait de
0 0complexit´e l+1) ou a est un uple extrait (de compexit´e l l) de l’un des a .i
00 D(a )De plus si a est un uple extrait de a on note a l’uple des ´el´ements de a `a droite
0de a, que l’on appelle reste a` droite.
nLemme 15. Soient deux uples a et b v´erifiant M (a,b) pour un entier n 1 et lau
0 0d´ecomposition u de a. Consid´erons a un uple extrait de a de complexit´e l .
0 0Il existe alors un unique uple extraitb de b de mˆeme complexit´el qui soit un pr´efixe
0(sous-uple initial) de a .
niv(b/a)
0 00 0D(a ) D(a )D(b ) D(a )De plus a b (ici a d´enote l’uple a qui est le sous-
niv(b/a) niv(b/a) niv(b/a)
0D(a )uple des ´el´ements de b correspondant par le maillage a` des composantes de a ).
00 00 0 00Enfin si a est un second uple extrait de a tel que a a alors l’uple extrait b de
00 00 0b correspondant a` a v´erifie b b .
D´emonstration. La preuve se fait par induction sur n et la complexit´e de a.
Si la complexit´e est 1 et n = 1. Alors a = (a ,...,a ) et b = (b ,...,b ) tels que1 1k k+1
p p 0 0a = b + b . Si a = a alors b vaut n´ecessairement b . Dans ce cas, si i < k oni i ii i+1
D(a )D(a ) i D(b ) D(a )i i ka a = a ...a et a = b ...b = b ; sinon on a a = ; eti+1 k i+1 k+1niv(b/a)
D(a )k D(b ) 0 0 D(a) D(b)ka = ; b = b . Si a = a, alors b = b et a = b = ;. La derni`erek+1niv(b/a)
propri´et´e est ´evidemment v´erifi´ee.
n+1 0Passage de n `a n + 1 : soient a,b v´erifiant M (a,b). Consid´erons a un upleu
0extrait de a de complexit´e l . Alors il existe c de d´ecomposition w(= v(u,1)) tel que
1 n 0M (a,c) et M (c,b). Par hypoth`ese d’induction, il existe un unique uple extrait c deu w
0 0 0c de complexit´e l qui soit un pr´efixe de a et il existe un unique uple extrait b
niv(c/a)
0 0 0de b de complexit´e l qui soit un pr´efixe de c . Mais alors c est un pr´efixe
niv(b/c) niv(b/c)
0 0 0 0de a = a donc b est ´egalement un pr´efixe de a . De plus
niv(c/a) niv(b/a) niv(b/a)
niv(b/c)
0 0 0 00 0 0D(a ) D(c ) D(a ) D(a )D(c ) D(b ) D(b )a c et c b d’ou` a = a b . Enfin
niv(c/a) niv(b/c) niv(b/a) niv(c/a)
niv(b/c)
00 00 0si a est un second uple extrait de a tel que a a, alors par hypoth`ese d’induction
00 0 00 0c c et donc b b.
8Passage de la complexit´e l a` l + 1 : soient a,b de complexit´es l + 1 v´erifiant
1 0M (a,b). Alors u est de la forme (k,r,u) et a = (a ,...,a ), b = (b ,...,b ) avec1 1u k k+1
r+2 0 0M (a ,b b ) pour tout i 2 f1,...kg. Soit a un uple extrait de complexit´e l . Si0 i i i+1(r,u )
0 0 0 0a = a (respectivement a = a pour un i), alors b = b (respectivement b = b pour cei i
0 0D(a ) D(b ) 0mˆeme i) et on v´erifie facilement que a b . Sinon, a est un uple extrait d’un
niv(b/a)
0a decomplexit´el <l.Parhypoth`esed’inductionsurlecouple(a ,b b )dedeuxuplesi i i i+1
0 0 0de complexit´e l, il existe un unique uple extrait b de b b de complexit´e l tel que bi i+1
0 0 0est un pr´efixe de a . Remarquons que l’uplea (ou` a est consid´er´eniv(b b /a ) niv(b b /a )i i+1 i i i+1 i
0 0comme uple extrait de a ) est ´egal a` a (ou` a est consid´er´e comme uple extraiti niv(b/a)
0 0de a). De plus comme l < l, l’uple b est n´ecessairement un uple extrait de b. Notons
enfin que a = (a ,...,a ) et b b = (b ,...,b ,b ,b ,...,b ,b )i i,1 i,r i i+1 i,1 i,r i,r+1 i+1,1 i+1,r i+1,r+1
0 0et qu’en particulier si a = a alors b = b par induction. Il suit que quel quei,s i,s
0 0 0soit l’uple extrait a de a de complexit´e l < l, on a b b . Alors par induc-i i
0 0 0 00D(a ) D(b ) D(a ) D(b )D(b )tion, (a ) b b . Il suit que a b = b b ...b cari i+1 i+1 k+1i iniv(b b ) niv(b/a)i i+1
00 D(a )D(a )a =a a ...a et (a ) =b b pour tout j.i+1 k j j j+1niv(b/a)i
lProposition 16. RU(Grill )ω .u
0D´emonstration. Soit x une r´ealisation de p . Montrons que pour tout uple extrait au
m 0de complexit´e non nul d’un uple a tel que M (x,a) pour un entier m, a a un arbreu
0D(a )minor´e sur Kha i. En particulier on en d´eduit que x a un arbre minor´e sur K et
ldonc que RU(x/K)ω .
0 0Nous montrons ce r´esultat par induction sur la complexit´e l de a. Pour tout entier
0n n n n n 0n, notonsa tel queM (a,a ), a l’uple extrait dea correspondant a`a via le lemmev
0D,n n npr´ec´edent, et enfin a le reste a` droite de a dans a . Le lemme pr´ec´edent implique
0 0 0D(a ) D,n m nque a 2 K(a : n > 0) et que pour tout m n, a est pr´efixe de a .1 m nniv(a /a )
0 0 0n n nDe plus, par le maillage, on sait que a = (a ,...,a ) avec k suite strictementn1 kn
0croissante (c.f. Remarque 4). Si la complexit´e de a est 1, on v´erifie alors facilement que
0 0 0 0n n n D(a )a 2/ Kha ,...,a ,a i; pour cela il suffit de remarquer que quand on descendj j+1 kn
dans l’arbre, il reste toujours un degr´e de libert´e `a gauche. Cela suit du fait que pour
0m ntout m n, l’uple extrait de a correspondant a` a par le lemme pr´ec´edent est lej
0 0m 0 D(a ) 0point a . Ainsi a a un arbre minor´e sur Kha i. Si la complexit´e est l +1, alorsj
0n D Dpar hypoth`ese d’induction, a a un arbre minor´e sur Khb i, ou` b est le reste a` droitej
0 0 0 0 0 0n n D n n D,n D D(a ) n nde a dans a . Mais alors b =a ...a a et Khb iKha iha ...a i. D’ou`j j+1 j+1k kn n
00 D(a )a a un arbre minor´e sur Kha i.
Nousnesavonspassipourunoutoutudecomplexit´el,lerangdeGrill estmajor´eu
let si dans ce cas il vaut ω
4 Arbres major´es
AfindemajorerlerangU,nousallonscompl´eterlaconstructiondemani`ere`aceque
la d´eviation sur un mod`ele implique la r´ealisation d’une composante dans l’arbre. Dans
un souci de simplification, nous utiliserons pour cela des arbres partiels «gauches».
9D´efinition 17. Un ´el´ement a de L a un arbre partiel gauche de niveau m si a 2 Bm
et a 2 K[a ] ou` a d´esigne le premier ´el´ement de l’uple a . Dans ce cas=m ¯ ¯ =m0(m) 0(m)
mpa =P(a¯ ) ou` P est un polynoˆme de K[X ]. Un tel polynoˆme qui d´efinit un arbre0(m)
partielgauche de niveaum seraappel´epar lasuite polynoˆme gauchede niveaum. Dans
le cas ou` de plus tout ´el´ement de a est ´egal a` la valeur d’un p-polynoˆme en a ,=m ¯0(m)
on dira que l’arbre partiel gauche et le polynoˆme P associ´e sont additifs.
Un ´el´ement a de L a un arbre gauche s’il a un arbre partiel gauche de niveau m
pour tout m 0. Un type sur K a un arbre gauche si toutes ces r´ealisations ont un
arbre gauche.
Soientu =v(u,n)ets =s(u )pourtoutn<ω(voirSection2pourlesd´efinitionsn n n
de v et s). Pour la suite, fixons β(n) une entier positif et P un polynoˆme gauche den,i
niveau β(n) pour tout n<ω et tout 1is .n
D´efinition 18. Soit q le type sur K d´efini par : a r´ealise q s’il existe deux suitesu u
n n n n n nd’uples a = (a ,...,a ) et b = (b ,...,b ) de complexit´e l et de d´ecomposition uns s1 n 1 n
0telles que a =a et pour tout n,
n n1. les ´el´ements a ,...,a sont alg´ebriquement ind´ependants au-dessus de K;1 sn
n n2. a =P (b ) pour tout 1is ;n,i ni i
1 n n+13. M (b ,a ).un
Remarque 19. – Demˆemequepourp ,lesr´ealisationsdeq ontunarbreminor´e,u u
let donc RU(q )ω .u
– Si les polynoˆmes utilis´es dans la d´efinition de q sont additifs alors q est un typeu u
additif.
Par la suite, on choisira l’ensemble des polynoˆmes gauches dans la d´efinition de qu
lde fac¸on `a ce que RU(q ) ω . Cela sera vrai quand toute r´ealisation de q aura unu u
arbre fortement major´e.
D´efinition 20. On d´efinit les notions d’arbre faiblement et fortement major´e par une
induction imbriqu´ee sur la complexit´e.
1. Un uple a = (a ,...,a ), de complexit´e 1 et de d´ecomposition k, a un arbre1 k
faiblement major´esurK sipourtouti2f1,...,kg,RT(a/Khai)<k.(Rappelonsi
que RT(a/Khai) est le degr´e de transcendance deKha ai surKhai et que RUi i i
RT)
2. Un uple a de complexit´e l a un arbre fortement major´e sur K s’il existe une suite
nstrictement croissante (i ) d’entiers positifs et une suite (a ) d’uples den n<ω n<ω
complexit´e l telles que
n– a a un arbre faiblement major´e sur K,
n n– a a et a2K[a ] pour tout n, et=in
0 0– si le type de a sur K d´evie sur K pour une extension ´el´ementaire K de K,
n 0alors a \ K =; pour un entier n.
3. Un uple a = (a ,...,a ) de complexit´e l+1 a un arbre faiblement major´e sur K1 k
si
– les uples a de complexit´e l ont tous un arbre faiblement major´e sur K,i
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