Statistique et Informatique (LI323) Cours 5

Massih-Reza [e-mail]

Description

Statistique et Informatique (LI323) Cours 5 Massih-Reza Amini Universite Pierre et Marie Curie (UPMC) Laboratoire d'Informatique de Paris 6 (LIP6) auteurs: M.R. Amini, N. Usunier (UPMC, LIP6) Statistique et Informatique LI-323 1 / 14

• modeliser des resultats d'experiences aleatoires
• fonctions de repartition et de densite
• probabilite
• definition generale
• variable aleatoire
• ∀i ∈
• loi uniforme
• tribus
• tribu

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• cours

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Extrait

Statistique et Informatique (LI323)
Cours 5
Massih-Reza Amini
[e-mail]
Universite´ Pierre et Marie Curie (UPMC)
Laboratoire d’Informatique de Paris 6 (LIP6)
auteurs: M.R. Amini, N. Usunier (UPMC, LIP6) Statistique et Informatique LI-323 1 / 14Plan
nMesures de probabilites´ surR etR ,
Variables aleatoires´ a` valeurs continues,
Fonctions de repar´ tition et de densite,´
auteurs: M.R. Amini, N. Usunier (UPMC, LIP6) Statistique et Informatique LI-323 2 / 14´Mesures de probabilites surR
Motivation
Modeliser´ des resultats´ d’exper´ iences aleatoires´ pouvant etreˆ des reels´
quelconques.
Par exemple : mesures de temps ou de distances.
Exemple : Probabilite´ continue uniforme sur [0;1]
On souhaite creer´ une mesure telle que chaque valeur est equiprobab´ le.
Plus exactement : si 0 a< b 1;P([a;b]) = b a.
´ ´ ´Plus generalement : on souhaite associer une mesure de probabilite aux
intervalles deR.
auteurs: M.R. Amini, N. Usunier (UPMC, LIP6) Statistique et Informatique LI-323 3 / 14´Quelques details techniques...
Rappel : mesure de probabilite´
Une de probabilite´ est une fonction qui associe un ensemble a`
une valeur entre 0 et 1,
la probabilite´ de l’univers
est de 1,
lae´ d’une union (denombr´ able) d’ensembles disjoints est la
somme des probabilites´ .
Fait marquant 1
Selon la theor´ ie usuelle (theor´ ie des ensembles + axiome du choix) :
Il n’existe pas de fonction P telle que:
1 P est une mesure de probabilite,´
2 P peut etreˆ calculee´ pour n’importe quel sous-ensemble de [0;1],
3 pour tout intervalle [a;b] [0;1] : P([a;b]) = b a.
auteurs: M.R. Amini, N. Usunier (UPMC, LIP6) Statistique et Informatique LI-323 4 / 14´ ´ ´ ´Mesures de probabilites : definition generale (1)
Tribu
´Une tribuT sur un ensemble
contient des sous-ensembles de
et verifie:
1
2T ,
2 si E2T , alors
nE2T ,
S
3 si (E ) est une suite d’ensembles appartenant a`T , alors E 2T .i i1 ii1
Note : l’ensemble des parties de
est une tribu.
Tribu de Borel
La tribu de Borel surR, notee´ B, est la plus petite tribu contenant tous les
intervalles deR,
nla tribu de Borel surR , notee´ B est la plus petite tribu contenant lesn
produits cartesiens´ de n ensembles deB :
fI I :::I j8k;I 2BgB :1 2 n k n
Les tribus de Borel contiennent les ensembles interessants´ du point de vue
des probabilites´ .
auteurs: M.R. Amini, N. Usunier (UPMC, LIP6) Statistique et Informatique LI-323 5 / 14´ ´ ´ ´Mesures de probabilites : definition generale (2)
Espace mesurable
Un espace mesurable est un couple ( ;T ), ou`
est un ensemble etT est
une tribu sur
. (Note : (R;B) est donc un espace mesurable.)
Mesure de probabilite´
Soit ( ;T ) un espace mesurable.
Une mesure sur ( ;T ) est une fonction P :T ! [0; +1] telle que :
1 P(;) = 0,
2 8E2T;P(E) 0,
3 si (E ) sont deux a` deux disjoints, et8i;E 2T , alorsi i1 i
[ X
P E = P(E ):i i
i1 i1
4 Si de plus P( ) = 1, alors P est une mesure de probabilite´.
Cette definition´ gen´ er´ alise la definition´ du cours 1 en prenantP( ) comme
tribu sur
lorsque
est discret.
auteurs: M.R. Amini, N. Usunier (UPMC, LIP6) Statistique et Informatique LI-323 6 / 14Mesure de Borel
Fait marquant 2
Il existe une mesure sur (R;B), appelee´ mesure de Borel, telle que:
pour tout intervalle [a;b] deR (a b),([a;b]) = b a.
La mesure de probabilite´ uniforme sur un intervalle [A;B];A< B est alors :
(I\ [A;B])
8I2B;P(I) =
B A
nMesure de Borel surR
nLa mesure de Borel sur (R ;B ), notee´ est definie´ par :n n
nY
8I 2B;:::;I 2B; (I :::I ) = (I )1 n n 1 n k
k=1
Par exemple : ([0;1=2] [0;1=2]) = 1=4.2
` correspond a l’aire d’une figure dans le plan, au volume d’un objet dans2 3
`l’espace a 3 dimensions.
auteurs: M.R. Amini, N. Usunier (UPMC, LIP6) Statistique et Informatique LI-323 7 / 14Exemple
Lancer d’une flec´ hette en direction d’une cble circulaire
On considere` une cible circulaire de rayon r et un point cimetiere` c.
2 2 2 2
=f(x;y)2R j x +y rg[fcg
´ ´Si on suppose qu’un joueur manque la cible 1 fois sur 2. Pour tout evenement
` ´A, correspondant a une zone de la cible, quelle est la probabilite que la
´flechette du joueur atteigne cette zone?
auteurs: M.R. Amini, N. Usunier (UPMC, LIP6) Statistique et Informatique LI-323 8 / 14´ ´Densite de probabilite
Definition´
nUne mesure de probabilite´ P sur (R ;B ) admet une fonction de densite´n
np :R !R si : R
pour tout IB ;P(I) = p(x)d (x)n nx2I
Exemples
´Si P est une mesure de probabilite sur (R;B) qui admet comme fonction
de densite´ p, alors pour tout a< b, on a :
Z b
P(]a;b]) = p(x)dx (avec les notations usuelles de l’integ´ rale surR).
a
La loi uniforme sur [a;b] admet comme fonction de densite´ :
(
1 si x2 [a;b]b ap(x) = ;
0 sinon
une v.a. reelle´ a` valeurs dans un ensemble discret n’a pas de fonction de
densite.´
auteurs: M.R. Amini, N. Usunier (UPMC, LIP6) Statistique et Informatique LI-323 9 / 14´ ` ´Variables aleatoires a valeurs reelles
Variable aleatoire´ reelle´
Soit P est une mesure de probabilite´ sur ( ;T ).
Une variable aleatoire´ reelle´ est une fonction X :
7!R telle que :
18I2B;X (I)2T
X induit une mesure de probabilite´ P sur (R;B) par :X

1P (I) = P(X2 I) = P X (I) :X
Note : cette definition´ gen´ er´ alise notre definition´ de variable aleatoires´ a`
valeurs reelles´ sur des ensembles discrets.
auteurs: M.R. Amini, N. Usunier (UPMC, LIP6) Statistique et Informatique LI-323 10 / 14