Statistique et Informatique (LI323) Cours 6

Massih-Reza [e-mail]

Description

Statistique et Informatique (LI323) Cours 6 Massih-Reza Amini Universite Pierre et Marie Curie (UPMC) Laboratoire d'Informatique de Paris 6 (LIP6) auteurs: M.R. Amini, N. Usunier (UPMC, LIP6) Statistique et Informatique LI-323 1 / 13

• plan lois de probabilites continues
• loi normale de parametres
• theoreme de la limite centrale
• analogue continu de la loi geometrique
• loi exponentielle
• loi normale
• lois normales

Sujets

• cours

Informations

• Publié par: ubbu0
• Nombre de lectures: 91
• Langue: Français

Extrait

uaetru:s.M.RmAni,i.NU

StatistiqueetInformatique(LI323)

usinreU(MP,CIL6P

Cours6

Ma M ss a i s h- s R ih e - za R . e A z m a ini A @ m li i p n 6 i .fr

Universite ´ PierreetMarieCurie(UPMC) Laboratoired’InformatiquedeParis6(LIP6)

)tStasiituqetenIofmrtaqieuIL3-321/31

lPna

uaetru:s

Loisdeprobabilite´scontinues,

the´ore`medelalimitecentrale,

intervallesdeconfiance.

.M.RmAni,i.NsUuinreU(MP,CIL6P)tStasiituqetenIofmrtaqieuIL3-322/31

L a ioxeopentneille

De ´ finitionetpropri ´ ete ´ s

Unev.a.r. X suituneloiexponentielledeparame`tre λ> 0 sielleadmet commedensite ´ deprobabilite ´ : ( p ( t )= λ e − λ t si t ≥ 0 . X 0 sinon

Onaalors: E ( X )= λ 1 , V ( X )= λ 1 2 , F X ( t )= P ( X ≤ t )= 1 − e − λ t . Laloiexponentielleestl’analoguecontinudelaloige´ome´trique, ellerepre´senteletempsd’attenteavantlare´alisationd’une´ve´nement.

tuuesr:.M.RmAni,i.NsUuinreU(MP,CIL6P)tStasiituqetenIofmrtaqieuIL3-323/31

Loinormale De ´ finitionetproprie ´ te ´ s Unev.a.r. X suituneloinormale(ougaussienne)deparame ` tres µ et σ 2 sielle admetcommedensite ´ deprobabilite ´ : p X ( t )= √ 1 e − 2 σ 1 2 ( x − µ ) 2 π 2 σ E ( X )= µ , V ( X )= σ 2 ( σ estdonc l’e´cart-type de X ). Si µ = 0 ,onparledeloi centre´e . Si µ = 0 et σ = 1 alors X suituneloinormale centre´ere´duite . auteurs:M.R.Amini,N.Usunier(UPMC,LIP6)StatistiqueetInformatiqueLI-323 4/13

Loinormale(2)

a

Proprie´te´sadditionelles

tuuesr:

Syme´trie: F X ( µ + t )= 1 − F X ( µ − t ) ( ⇔ P ( X ≤ µ − t )= P ( X ≥ µ + t ) ),

Si X suituneloinormaledeparame`tres ( µ,σ 2 ) ,alors Y = α X + β suitune loinormaledeparame`tres αµ + β et α 2 σ 2 . Enparticulier, X σ − µ suituneloinormalecentre´ere´duite. Si X et X 0 sontinde ´ pendantese 2 tsuiventrespectivementuneloinormale deparame ` tres ( µ,σ 2 ) et ( µ 0 ,σ 0 ) , alors X + X 0 suituneloinormaledeparame ` tres µ + µ 0 et σ 2 + σ 0 2 .

.M.RmAni,i.NsUuinre(UPMC,IL6P)tStasiituqetenIofmrtaqieuIL3-325/31

The ´ ore ` medelalimitecentrale

a

E ´ nonce ´ duthe ´ ore ` me

Soit ( X n ) n ≥ 1 unesuitedev.a.r.inde´pendantesetidentiquementdistribue´es, d’espe ´ rancesetdevariancesfinies.

Les X n peuventsuivren’importequelleloide ` squecesdeuxconditionssont respecte ´ es.

p Onnote µ = E ( X n ) et σ = V ( X n ) l’espe´ranceetl’e´cart-typede X n .

tuuesr:

Ennotant S n = P k ≤ n X k ,ona: S n − √ n µ auneespe ´ rancede 0 etune ´ cart-typede 1 nσ Deplus,pourtout t : � S n − n µ
n l → im ∞ P σ √ n ≤ t =Φ( t )

t Z ou` Φ( t )= √ 1 e − 2 1 x 2 dx . π2 ∞− Φ estlafonctiondere´partitiondelaloinormalecentre´ere´duite.

.M.RmAni,i.NsUuinreU(MP,CIL6P)tStasiituqetenIofmrtaqieuIL3-326/31

The ´ ore ` medelalimitecentrale

a

E ´ nonce ´ duthe ´ ore ` me

Soit ( X n ) n ≥ 1 unesuitedev.a.r.inde´pendantesetidentiquementdistribue´es, d’espe ´ rancesetdevariancesfinies.

Les X n peuventsuivren’importequelleloide ` squecesdeuxconditionssont respecte ´ es.

p Onnote µ = E ( X n ) et σ = V ( X n ) l’espe´ranceetl’e´cart-typede X n .

tuuesr:

Ennotant S n = P k ≤ n X k ,ona: S n − √ n µ auneespe ´ rancede 0 etune ´ cart-typede 1 nσ Deplus,pourtout t : � S n − n µ
n l → im ∞ P σ √ n ≤ t =Φ( t )

t Z ou` Φ( t )= √ 1 e − 2 1 x 2 dx . π2 ∞− Φ estlafonctiondere´partitiondelaloinormalecentre´ere´duite.

.M.RmAni,i.NsUuinreU(MP,CIL6P)tStasiituqetenIofmrtaqieuIL3-326/31

T a h ´ oer ` mee

interpre ´ tation

n edalilimetectnarel

� n l → im ∞ P S n σ − √ n µ ≤ t = P ( Y ≤ t ) ou` Y suituneloinormalecentre ´ ere ´ duite .

Formulationalternativeinformelle: lorsque n estgrand: P S n − √ n µ ≤ t ≈ P ( Y ≤ t )
� nσ

ouencore(toujourslorsque n estgrand): PS n ≤ z ≈ PY ≤ z − √ n µ
�
� n σ

X

Unexemple:les n sontdesvariablesdeBernoullideparame`tre p !  k X lorsque n estgrand: P ( S n ≤ k )= C i n p i ( 1 − p ) n − i ≈ PY ≤ p k − np i = 0 np ( 1 − p )

tuuesr:.M.RmAni,i.NsUuinreU(MP,CIL6P)tStasiituqetenIofmrtaqieuIL3-327/31