Statistique et Informatique (LI323) Cours 6

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Statistique et Informatique (LI323) Cours 6 Massih-Reza Amini Universite Pierre et Marie Curie (UPMC) Laboratoire d'Informatique de Paris 6 (LIP6) auteurs: M.R. Amini, N. Usunier (UPMC, LIP6) Statistique et Informatique LI-323 1 / 13
  • plan lois de probabilites continues
  • loi normale de parametres
  • theoreme de la limite centrale
  • analogue continu de la loi geometrique
  • loi exponentielle
  • loi normale
  • lois normales
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91

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Français

uaetru:s.M.RmAni,i.NU
StatistiqueetInformatique(LI323)
usinreU(MP,CIL6P
Cours6
Ma M ss a i s h- s R ih e - za R . e A z m a ini A @ m li i p n 6 i .fr
Universite´PierreetMarieCurie(UPMC) Laboratoired’InformatiquedeParis6(LIP6)
)tStasiituqetenIofmrtaqieuIL3-321/31
lPna
uaetru:s
Loisdeprobabilite´scontinues,
the´ore`medelalimitecentrale,
intervallesdeconfiance.
.M.RmAni,i.NsUuinreU(MP,CIL6P)tStasiituqetenIofmrtaqieuIL3-322/31
Laioxeopentneille
De´nitionetpropri´ete´s
Unev.a.r. X suituneloiexponentielledeparame`tre λ> 0 sielleadmet commedensite´deprobabilite´: ( p ( t )= λ e λ t si t 0 . X 0 sinon
Onaalors: E ( X )= λ 1 , V ( X )= λ 1 2 , F X ( t )= P ( X t )= 1 e λ t . Laloiexponentielleestlanaloguecontinudelaloige´ome´trique, ellerepre´senteletempsdattenteavantlare´alisationdune´ve´nement.
tuuesr:.M.RmAni,i.NsUuinreU(MP,CIL6P)tStasiituqetenIofmrtaqieuIL3-323/31
Loinormale De´nitionetproprie´te´s Unev.a.r. X suituneloinormale(ougaussienne)deparame`tres µ et σ 2 sielle admetcommedensite´deprobabilite´: p X ( t )= 1 e 2 σ 12 ( x µ ) 2 π2σ E ( X )= µ , V ( X )= σ 2 ( σ estdonc le´cart-type de X ). Si µ = 0 ,onparledeloi centre´e . Si µ = 0 et σ = 1 alors X suituneloinormale centre´ere´duite . auteurs:M.R.Amini,N.Usunier(UPMC,LIP6)StatistiqueetInformatiqueLI-323 4/13
Loinormale(2)
a
Proprie´te´sadditionelles
tuuesr:
Syme´trie: F X ( µ + t )= 1 F X ( µ t ) ( P ( X µ t )= P ( X µ + t ) ),
Si X suituneloinormaledeparame`tres ( µ,σ 2 ) ,alors Y = α X + β suitune loinormaledeparame`tres αµ + β et α 2 σ 2 . Enparticulier, X σ µ suituneloinormalecentre´ere´duite. Si X et X 0 sontinde´pendantese 2 tsuiventrespectivementuneloinormale deparame`tres ( µ,σ 2 ) et ( µ 0 0 ) , alors X + X 0 suituneloinormaledeparame`tres µ + µ 0 et σ 2 + σ 0 2 .
.M.RmAni,i.NsUuinre(UPMC,IL6P)tStasiituqetenIofmrtaqieuIL3-325/31
The´ore`medelalimitecentrale
a
E´nonce´duthe´ore`me
Soit ( X n ) n 1 unesuitedev.a.r.inde´pendantesetidentiquementdistribue´es, despe´rancesetdevariancesnies.
Les X n peuventsuivrenimportequelleloide`squecesdeuxconditionssont respecte´es.
p Onnote µ = E ( X n ) et σ = V ( X n ) lespe´ranceetle´cart-typede X n .
tuuesr:
Ennotant S n = P k n X k ,ona: S n n µ auneespe´rancede 0 etune´cart-typede 1 nσ Deplus,pourtout t : S n n µ  n l im P σ n t =Φ( t )
tZ ou` Φ( t )= 1 e 21 x 2 dx . π2 Φ estlafonctiondere´partitiondelaloinormalecentre´ere´duite.
.M.RmAni,i.NsUuinreU(MP,CIL6P)tStasiituqetenIofmrtaqieuIL3-326/31
The´ore`medelalimitecentrale
a
E´nonce´duthe´ore`me
Soit ( X n ) n 1 unesuitedev.a.r.inde´pendantesetidentiquementdistribue´es, despe´rancesetdevariancesnies.
Les X n peuventsuivrenimportequelleloide`squecesdeuxconditionssont respecte´es.
p Onnote µ = E ( X n ) et σ = V ( X n ) lespe´ranceetle´cart-typede X n .
tuuesr:
Ennotant S n = P k n X k ,ona: S n n µ auneespe´rancede 0 etune´cart-typede 1 nσ Deplus,pourtout t : S n n µ  n l im P σ n t =Φ( t )
tZ ou` Φ( t )= 1 e 21 x 2 dx . π2 Φ estlafonctiondere´partitiondelaloinormalecentre´ere´duite.
.M.RmAni,i.NsUuinreU(MP,CIL6P)tStasiituqetenIofmrtaqieuIL3-326/31
Tah´oer`mee
interpre´tation
nedalilimetectnarel
 n l im PS n σ n µ t = P ( Y t ) ou` Y suituneloinormalecentre´ere´duite .
Formulationalternativeinformelle: lorsque n estgrand: PS n n µ t P ( Y t ) nσ
ouencore(toujourslorsque n estgrand): PS n z PY z n µ nσ
X
Unexemple:les n sontdesvariablesdeBernoullideparame`tre p ! kX lorsque n estgrand: P ( S n k )= C in p i ( 1 p ) n i PY p k np i = 0 np ( 1 p )
tuuesr:.M.RmAni,i.NsUuinreU(MP,CIL6P)tStasiituqetenIofmrtaqieuIL3-327/31
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