Suites a valeurs complexes

Description

Suites a valeurs complexes 23 janvier 2011 L'objectif de cette note est d'indiquer les notions concernant les suites a valeurs reelles qui s'etendent aux suites a valeurs complexes. On verra qu'il n'y a pas de differences notables. I Anneau CN des suites a valeurs complexes 1. Generalites Definition Definition 1 Une suite (zn)n?N a valeurs complexes est une famille de nombres com- plexes indexes par l'ensemble N. On peut donc la considerer comme une application de N vers C. L'ensemble des suites a valeurs complexes est note CN ou F(N,C). Par exemple, la suite ( ei n ? ) n ou ? ? R est un exemple de suite a valeurs complexes. Parties reelle et imaginaire ; module Etant donne (zn)n ? CN, on definit les suites a valeurs reelles suivantes : • la suite des parties reelles (Re(zn))n ; • la suite des parties imaginaires (Im(zn))n ; • la suite des modules (|zn|)n . Reprenons l'exemple de la suite ( ei n ? ) n . On a • la suite des parties reelles est la suite (cos(n ?))n ; • la suite des parties imaginaires est la suite (sin(n ?))n ; • la suite des modules est la suite constante egale a 1.

• relation d'ordre naturelle


• inverse etant


• c?espace vectoriel


• etant donne


• restrictions d'usage sur ÷

Sujets

• multiplication
• maths

Informations

• Publié par: pefav
• Publié le: 01 janvier 2011
• Nombre de lectures: 41
• Langue: Français

Extrait

Suites`avaleurscomplexes

23 janvier 2011

L’objectifdecettenoteestd’indiquerlesnotionsconcernantlessuitesa`valeursr´eellesquis’e´tendentaux suites`avaleurscomplexes. Onverraqu’iln’yapasdediff´erencesnotables.

1.G´ene´ralit´es D´efinition

N I AnneauCsexelpmocsrueavaltes ` ssuide

D´efinition1Une suite(z n ) n∈N rembnode-omscexestsnufemaliel`avaleurscomple plexesindexe´sparl’ensembleN.ontippaeacilmocrnuemalocodcne´ersndipeutOn deNversC.

N L’ensembledessuites`avaleurscomplexesestnote´CouF(N,C).   i n θ Par exemple, la suiteeou`θ∈Rmiptlee`ndeexseueeusrtsuavalelexocpm.s n

´ N Partiesr´eelleetimaginaire;moduletdonn´e(natEz n ) n ∈C,`aeslevasrurel´eselno´dfieinltseusti suivantes : •eirsaptrdeseustiRe(les(´aelelz n )) ; n •la suite des parties imaginaires (Im(z n )) ; n •la suite des modules (|z n |). n   i n θ Reprenons l’exemple de la suitee .On a n •(tlaseses(cosuiteitrapsedllee´rseteuiasln θ)) ; n •la suite des parties imaginaires est la suite (sin(n θ)) ; n •deseomudelestsallasuit1`alegae´etnatsnocetius.

Suiteborn´ee

N D´efinition2On dit qu’une suite(z n )∈Cest’iesxileobtse´nreC >0tel que n |z n | ≤Cpour toutn∈N.

N Propri´et´e1Une suite(z n )∈C´neeistesebtroiltssuesulseenemsellsetiee´r n (Re(z n ))et(Im(z n ))e´seobnrostn n n

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