TD3 Corrige.pdf - Alg`ebre et Arithmétique Mathématiques L3 ...
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Alg`ebreetArithm´etique Universite´deNiceSophia-Antipolis
Mathe´matiquesL3 Ann´ee2008-2009
´ ´ CORRIGE DE FEUILLE DE TRAVAUX DIRIGES 3
ACTION DE GROUPES
Exercice(Action par conjugaison). Soit (G,, e) un groupe fini. (1)Onde´nitlapplicationsuivante // G×G G 1 // (g, x)g.x:=gxg . Montrer qu’il s’agit d’une action du groupeGsurlui-mˆeme. 1 Le neutre agit trivialement :e.x=exe=exe=x. 0 Pour tout, xg, gdansG, on a 11 0 00 00 −10 010 g.(g .x) =g.(gxg) =ggxgg= (gg)x(gg() =gg).x (2) Lorsquequ’un groupeGagit sur un ensembleX, on appellepoints fixessdementel´eles´ Xqui sont invariants sous l’action deG; ils forment l’ensemble{xX|g.x=x,gG}. D´ecrirelespointsxesdelactionparconjugaisondungroupeGem.m-eˆlursiu Un´el´ementxGest un point fixe si et seulement sigG g.x=xqeiuavelqeiuse´t,cnt 1 `agxg=xgx=xg. Lespointsxespourlactionparconjugaisondungroupesurlui-meˆmesontdoncles´el´ements quicommutentavectouslesautres,cest-a`-direles´el´ementsducentredeG (3) Dansle casG=S4s.etruilasatibelssetesitrbsolererice´d,
Lesdi´erentesorbitessont id (12),(13),(14),(23),(24),(34) (12)(34),(13)(24),(14)(23) (123),(132),(134),(143),(234),(243),(124),(142) (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432). Les stabilisateurs correspondant sont Gid=S4 G(12)={id,(12),(34),(12)(34)} G(12)(34)={id,(12),(34),(12)(34),(13)(24),(14)(23),(1324),(1423)} G={id,(123),(132)} (123) G(1234)={id,(1234),(13)(24),(1432)}. V´erication:`achaquefois,onabien|G|=|G.x| × |Gx|. 1
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