[tel-00459554, v1] Aspects arithmétiques et algorithmiques des ...

Cécile Ritzenthaler, Letailleur Christophe

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Extrait

Habilitation à Diriger des Recherches
Spécialité : Mathématiques
présentée et soutenue publiquement par
Christophe Ritzenthaler
le 2 décembre 2009
Aspects arithmétiques et algorithmiques
des courbes de genre 1,2 et 3
ou
à la rencontre du troisième genre : promenade mathématique
à travers les courbes de genre 1, 2 et 3
JuryTuteur
M. Noam D. ElkiesM. Gilles Lachaud
M. Gerard van der Geer
M. David KohelRapporteurs
M. Gilles Lachaud
M. Gerard van der Geer
M. Jean-François MestreMme Kristin Lauter
M. Enric Nart
M. Felipe Voloch
tel-00459554, version 1 - 24 Feb 20102
tel-00459554, version 1 - 24 Feb 2010Table des matières
Avant-propos v
Remerciements vii
1 CV et bibliographie personnelle 1
1.1 Notice individuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Formation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Références bibliographiques personnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 Articles et comptes-rendus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.2 Prépublications et travaux en cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.3 Autres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Activités d’encadrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Quartique plane en caractéristique 2 7
2.1 Modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.1 Idées générales des démonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 Le cas ordinaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.3 Le cas de 2-rang 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.4 Le cas de 2-rang 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.5 Le cas de 2-rang 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.6 Résultats globaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Quelques notions sur les invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Variétés abéliennes supersingulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.1 "Démontage" des courbes de genre 3 supersingulières . . . . . . . . 23
2.3.2 Classes d’isogénie sur k =F n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
2.3.3 Jacobiennes et courbes optimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Courbes avec beaucoup d’involutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.1 Cas hyperelliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.2 Cas non hyperelliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.3 Courbes optimales pour n impair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5 Projet de recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
i
tel-00459554, version 1 - 24 Feb 20102.5.1 À propos des modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.2 Invariants, reconstruction et corps de définition . . . . . . . . . . . 33
2.5.3 Automorphismes et tordues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Classes d’isogénie des jacobiennes des courbes de genre 2 37
3.1 Résultats en méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.1 Classes d’isogénie sur un corps fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.2 Jacobiennes et surfaces abéliennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Existence d’une polarisation principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Classes d’isogénie et jacobiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.1 Cas non-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.2 Cas simples supersinguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Obstruction de Serre 53
4.1 Courbes maximales en genre≤3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.1.1 Les cas de genre 0,1,2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.1.2 Le cas g =3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 Cas des quartiques de Ciani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2.1 Variétés abéliennes surC et formes modulaires . . . . . . . . . . . 61
4.2.2 Quartiques de Ciani et les résultats de [HLP00] . . . . . . . . . . . 65
4.2.3 Interprétation analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3.1 Formes modulaires de Siegel et de Teichmüller . . . . . . . . . . . . 70
4.3.2 Application à l’obstruction de Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3.3 Application à la formule de Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.3.4 Généralisation en genre g>3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4 Calcul de l’obstruction et courbes optimales . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4.1 Obstruction de Serre sur les corps finis . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4.2 Calcul explicite : un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.4.3 Quelques valeurs de l’obstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.5 Projet de recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.5.1 Une formule algébrique pour χ ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8118
4.5.2 Une alternative géométrique à l’approche de Serre . . . . . . . . . 82
4.5.3 Liens entre la courbe et sa jacobienne analytique . . . . . . . . . . 83
5 Cryptographie 85
5.1 Addition dans la jacobienne des courbes de genre 3 . . . . . . . . . . . . . 85
5.1.1 Loi d’addition géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.1.2 Etude de la condition de rationnalité sur les corps finis . . . . . . . 88
5.2 Couplage rapide sur les courbes d’Edwards . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2.1 Loi d’addition géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2.2 Utilisation avec le couplage de Tate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2.3 Autour des modèles d’Edwards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3 Applications de distorsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
ii
tel-00459554, version 1 - 24 Feb 20105.3.1 Cas s=4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3.2 Cas s=5 et s=6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.3.3 Cas s=12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.4 Méthode CM 2-adique pour les courbes de genre 2 . . . . . . . . . . . . . 96
5.4.1 Principe de la méthode complexe en genre 2 . . . . . . . . . . . . . 98
5.4.2 Principe de la méthode p-adique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.4.3 Développements récents et questions ouvertes . . . . . . . . . . . . 101
6 Appendice 103
6.1 Structure of the canonical divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.3 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Bibliographie générale 111
iii
tel-00459554, version 1 - 24 Feb 2010iv
tel-00459554, version 1 - 24 Feb 2010Avant-propos
Ce mémoire d’habilitation est pour moi l’occasion de faire le point sur six années de
recherche aprèsmathèse.J’aieffectuécetravailenpartie àl’étranger, durant mesannées
de post-doctorat, et depuis 2006 au sein de l’équipe ATI à l’Institut de Mathématiques
de Luminy, à Marseille. J’ai choisi de présenter dans ce mémoire mes travaux arithmé-
tiques sur les courbes de genre 1, 2 et 3. Les quatre chapitres contenant ces résultats
sont globalement indépendants. Ils peuvent ainsi être abordés dans l’ordre de préférence
du lecteur. Par souci de cohérence, j’ai écarté de cette présentation les quatre articles
[1], [5], [9] et [15].
Dans le premier chapitre, je développe divers aspectsdesquartiques planes en caractéris-
tique 2. Les techniques utilisées sont souvent élémentaires car on manipule directement
les objets. On peut ainsi se familiariser, de manière concrète, avec certaines méthodes et
concepts (descentes, classes d’isogénie, invariants,...) qui seront réutilisées par la suite.
Les deux chapitres suivants forment le cœur du mémoire et demandent plus de pré-
requis. Ils traitent respectivement de la caractérisation des classes d’isogénie de surfaces
abéliennes sur un corps fini qui contiennent une jacobienne et des courbes maximales
en genre 3. Enfin, le dernier chapitre, plus appliqué, concerne des problèmes d’origine
cryptographique sur les courbes de genre 1,2 et 3. En tête de chaque chapitre, le lecteur
trouvera une introduction au sujet concerné.
Nous avons souhaité rappeler un grand nombre de résultats, afin que le mémoire
puisse se lire sans trop de r&#