THEOREME DE JOACHIM STHAL

Costantini

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THEOREME DE JOACHIM STHAL

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• Publié par: aramis
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• Langue: Français

Extrait

+e 2it

b 2  4

  =0

e 2it +2

x=acost y=bsint tt e 2i 2+e 2i ac

+bdi e it e it

e it +e it

Démonstration :

Remarque liminaire :

G. COSTANTINI  http://bacamaths.net/

  ∃t ∈ ,    a    2 4

(avec évidemmentc 2  + d 2  +  0)

Les assertions suivantes sont équivalentes :

SoitCun cercle d'équation :

x 2 + y 2 2cx 2dy   =0  

x a t ∃t ∈ ,    y= = bn os si c t   a 2 cos 2 t+b 2 sin 2 t2accost2bdsint  =0

∃t ∈    x=acost ,y bsint    x 2 +y 2 2 = cx2dy  =0

M(x,y)∈ C ∩ E

Un théorème de Joachimsthal

x

A 1

A 3

Page1

A 4

et quatre pointsA 1 ,A 2 ,A 3 etA 4 de cette ellipse de paramètres respectifst 1 ,t 2 ,t 3 ett 4 .

Alors on a :

C

A 1 ,A 2 ,A 3 etA 4 cocycliques⇔  t 1  + t 2  + t 3  + t 4  ∈2π

Soientaetbdeux réels strictement positifs tels quea ≠ b.

UN THÉORÈME DE JOACHIMSTHAL

 =cos ,t ∈    y x =b a sint t 

Dans un repère orthonormé, on considère une ellipseEd'équations paramétriques

A 2

E

y

O