Théorème du point fixe dans un espace vectoriel - Théorème du ...

Thierry Albertin

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Cours de mathématiques Théorème du point fixe dans un espace vectoriel normé T HEOREME 1Théorème du point fixe Soient , .  , un-espace vectoriel normé,la distance associée à .  . Soit  , : une application. Siest complète et siest contractante, alorsadmet un point fixe et un seul, et, pour tout     de, la suite   définie parconverge vers le point fixe de.     ,      R APPELS 2 %est unpoint fixedesi, et seulement si,    . %estcontractantesi, et seulement si, il existe   0;1 tel que : " , !   , #, !$% ,! P REUVE 3Théorème du point fixe 1)Si,!deux points fixes de sont alors: , ! #,!$ % ,!  d’où , !  0puisque 1  0; . Ainsiadmet au plus un point fixe. 2)Montrons que   converge vers un point fixe de.     Montrons que   est de Cauchy dans. Pour toutde:  ,  #, $ %  ,    & &  d’où, par récurrence :   ,  %   ,     * Puis, pour tout', (de ) : & & + # , $% -# , $% -   ,   + ++ +  / /