topologie de R
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cours bien fait sur la topologie réelle. + Exercices corrigés

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CHAPITRE 1 RappelssurR Cechapitre,bienqu’élémentaireestindispensablealabonnecompréhensionducours,car Restd’unepartl’espacefondamentaldel’analyseetd’autrepartsetrouveêtrelemodèlesur lequellesdifférentesnotionsducoursseronttestées. 1.1. L’ensembledesnombresréels eLe besoin de définirR s’est fait sentir au XIX siècle; à cette époque, ont été données deux constructionsdeR[cf.parexemple,Lelong FerrandArnaudiesTome2]. Onvasecontenterd’endonnerunedéfinitionaxiomatique: Restlecorpstotalementordonnédanslequeltoutepartiemajoréenonvideadmetuneborne supérieure. Remarque1. Labornesupérieured’unepartie A deRnepeutexisterquesi A estnonvide etmajorée. Remarque2.LabornesupérieuresdeApeutappartenirounonàA;parexempleA = [0, 1], A = 0, 1 .[ [ Enfait,s ∈ A sietseulementsi A aunplusgrandélément.(Pourquoi?) CaractérisationdelabornesupérieuredansR. Soit A ⊂ R;alors s estlabornesupérieurede A sietseulementsi,pourtoutε> 0,lescondi- tionssuivantessontsatisfaites: i)s +εestunmajorantde A. ii)s−εn’estpasunmajorantde A,c.à.dqu’ilexistea ∈ A telques−ε< a. Essayerdelemontrer.(Del’aide?) Donnerunecaractérisationanaloguedelaborneinférieure. OnnoterasupA (resp.infA)labornesupérieure(resp.inférieure)de A lorsqu’elleexiste. Remarque. Si A est majorée et minorée on a supA− infA = sup{|x − y||x ∈ A,y ∈ A}. (Pourquoi?) Unepartie A nonvidedeRs’appelleunintervalle sipourtoutx,y ∈ A,toutpointz deRtel quex6 z6 y appartientà A. Décriretouslestypesd’intervalles (Del’aide?) OnpeutrajouterparfoisàRdeuxéléments−∞et+∞etposer R ={−∞}∪R∪{+∞} avec la condition :−∞ < x < +∞ pour tout x ∈ R. On appelle habituellementR la droite achevée. DansR,toutepartie(nonvide)admetunebornesupérieureetuneborneinférieure. 1.2. Suitesdenombresréels D1.2.1. Soit(u ) unesuitedenombresréels.Onditquel ∈Restlalimite den n∈N lasuite(u ) si,pourtoutε> 0ilexisteunentierN > 0telquesin> N alors|u −l|<ε.n n∈bbN n Rappel.Toutesuitecroissantemajorée(resp.décroissanteminorée)deRconvergeverssup{u ,n∈n N}(resp.inf{u ,n∈N}).n Application. Uneintersectiond’intervallesfermésbornésemboîtésnonvidesdeRestunin tervallefermébornénonvidedeR. Attention! C’estfauxsansl’hypothèse“ferméborné”.Parexemple: a)∩ ]0, 1/n[ =∅n∈N b)∩ [n, +∞[ =∅n∈N D. Considéronslasuited’intervalles a , b ⊃ a , b ⊃···⊃ a , b ⊃···[ ] [ ] [ ]1 1 2 2 n n Lasuitedenombresréels(a )estcroissanteetlasuitedenombresréels(b )estdécroissante.n n Commecesdeuxsuitessontbornées,a = lima etb = limb existentetonaa 6 a6 b6 b .n n n n Vérifieralorsque \ [a , b ] = [a,b].n n n∈N T (Remarquer que puisque a 6 a 6 b 6 b , [a,b] ⊂ [a , b ], puis utiliser quen n n nn∈N a = Supa ,b = Infb ,etlacaractérisationdelabornesupérieureetdelaborneinférieure.)n n  Soit(u ) unesuitebornéedeR onpose,pourtoutn∈Nn n∈N A ={u | p> n}.n p AlorslesA sontdespartiesbornéesdeRetonaA ⊃ A .Posonsmaintenants = supAn n n+1 n n eti = infA .Onvérifieque(s ) estunesuitedécroissanteminoréeetque(i ) estunen n n n∈N n n∈N suitecroissantemajorée.Ellessontdoncconvergentes. D 1.2.2. On appelle limite supérieure (resp. limite inférieure) de la suite bornée (u ) etonlanotelimu (resp.limu )lalimitedelasuite(s ) (resp.(i ) ).n n∈N n n n n∈N n n∈N Dufaitquei 6 s ,ilrésultequelimu 6 limu .n n n n L’intérêtestquepourtoutesuitebornéedenombresréels,limetlimexistent nExemple.Siu = (−1) +1/nonan limu =−1, limu = 1.n n P1.2.3. Soit(u )unesuitebornéedenombresréels.Alorslesassertionssuivantesn sontéquivalentes: i)limu = limun n ii)lasuite(u )estconvergente.n Deplus,sil’unedecesassertionsestvraie,alorslimu = limu = limu .n n n D. Essayerdelemontrer.(Del’aide?)  Rappel.(u )estunesuitedeCauchy sipourtoutε> 0,ilexisteN telque|u − u |<εdèsn p q que p, q> N. T1.2.4. DansRtoutesuitedeCauchyestconvergente. D. Essayerdelemontrer.(Del’aide?)  CHAPITRE 2 Espacesmétriques Le lecteur débutant pourra commencer par étudier le cas deR. Des liens permettent de relierlesnotionsquisecorrespondentdansRetdanslecasgénéraldesespacesmétriquesou topologiques. 2.1. Distance 2.1.1. Définitionetexemples D2.1.1. Si E estunensemble,unedistance sur E estuneapplication d de E × E dansRpossédantlespropriétéssuivantes: i)d(x, y)> 0pourtoutx, y ∈ E ii)d(x, y) = d(y, x)pourtoutx, y ∈ E (Symétrie) iii)d(x, y) = 0sietseulementsix = y (Séparation) iv)d(x, z)6 d(x, y)+d(y, z)pourtoutx, y ∈ E (Inégalitétriangulaire) Unespacemétrique estuncouple(E, d),oùE estunensembleetd unedistancesurE. Propriétés :si(E, d)estunespacemétrique,onalesinégalitéssuivantes: i) d(x, z)>|d(x, y)− d(y, z)|pourtoutx, y, z ∈ E ; ii) d(x , x )6 d(x , x )+d(x , x )+···+d(x ,x )pourtoutefamille(x ) depoint0 p 0 1 1 2 p−1 p i 06i6p deE. Montrez-le!del’aide? Exemples :vérifierque 1) (R, d)oùd(x, y) =|x− y|estunespacemétrique; 2) lescouplessuivants n(R , d )oùd (x, y) = max |x − y|,∞ ∞ 16i6n i iP n(R , d )oùd (x, y) = |x − y|1 1 i i16i6n r P 2n(R , d )oùd (x, y) = x − y2 2 i i 16i6n sontdesespacesmétriques. D2.1.2. Soit(E, d)unespacemétrique,x unpointdeE etr unnombreréelstric tementpositif.L’ensemble B(x, r) ={y ∈ E|d(x, y)< r} s’appellelabouleouverte decentrex etrayonr,tandisquel’ensemble eB(x, r) ={y ∈ E|d(x, y)6 r} s’appellelaboulefermée decentrex etrayonr. Pourn = 2,dessinerlesboulesB(x, 1)pourunpointx desespacesmétriquesdel’exemple 2). nComparer les boules B(0, 1) pour les distances d , d et d . (Vérifier que si x, y ∈ R , on∞ 1 2 a: d (x, y)6 d (x, y)6 d (x, y)6 n· d (x, y).∞ 2 1 ∞ etconclure.) D’autresexemples : 3) SiE estunensemble,onconsidèrel’applicationd : E × E →Rdéfiniepar ( d(x, x) = 0 d(x, y) = 1 si x ≠ y Vérifierquec’estunedistancesurE qu’onappelledistancediscrète. 4) SoitB(A, R)l’ensembledesapplicationsbornéesd’unensemble A dansR.Onpose σ( f , g) = sup|f (x)− g(x)| f , g ∈B(A, R) x∈A .Vérifierqueσ estunedistancesurB(A, R). R b 5) Pour f , g ∈C([a, b], R)onnoteμ( f , g) = |f (x)− g(x)|dx .Vérifierqueμestune a distancesurC( a, b , R).[ ] D2.1.3. Soient(E, d)unespacemétrique.Onditqu’unepartie A deE estbornée s’ilexisteM ∈Rtelqued(x, y)6 M pourtout(x, y)∈ A× A.Si A≠∅,onnotealors diam(A) = sup d(x, y) (x,y)∈A×A c’estlediamètre de A. Exemples. 1) Montrerquelediamètred’unebouleestinférieurouégalaudoubledesonrayon.   12) SurunensembleE munideladistancediscrète,quelestlediamètredelabouleB x, ? 2 del’aide? D’autresespacesmétriques : 1) Soient (E, d) un espace métrique et A ⊂ E une partie de E. Alors A est considérée de manière naturelle comme un espace métrique pour la distance d : A× A → R définieA par d = d , autrement dit d (x, y) = d(x, y) pour tout x, y ∈ A; d s’appelle laA A A|A×A distancesur A induiteparcelledeE. A A eSix ∈ A,onnoteraB (x, r)(resp.B (x, r))labouleouverte(resp.fermée)decentrex Aetderayonr pourladistanced .OnremarqueraqueB (x, r) = B(x, r)∩ A.A 2) Soient (E , d ), ...., (E , d ) des espaces métriques. On peut alors définir une distance,1 1 n n appeléedistanceproduit,surE = E ×···× E enposant1 n δ(x, y) = max d (x , y )i i i i=1,...,n pourx = (x ,..., x ), y = (y ,..., y )∈ E ×···× E .1 n 1 n 1 n eSi x = (x ,..., x ), on note B (x, r) (resp. B (x, r)) la boule ouverte (resp. fermée) de1 n δ δ centrex etderayonr pourladistanceδ.Ona B (x, r) = B (x , r)×···× B (x , r).δ d 1 d nn1 nExemple.(R , d )estunespacemétriqueproduit.∞ 2.1.2. Espacesvectorielsnormés OndésigneparE unespacevectorielsurR(ouC). D2.1.4. UnenormesurE estuneapplicationdeE dansRnotéex 7→kxkvérifiant: (i) kxk> 0pourtoutx ∈ E (ii) kxk = 0sietseulementsix = 0 (iii) kλxk =|λ|kxkpourtoutλ∈R(ouC)ettoutx ∈ E (iv) kx + yk6kxk+kykpourtoutx, y ∈ E (Inégalitétriangulaire) Unespacevectorielmunid’unenormeestappeléespacevectorielnormé (enabrégéevn). P2.1.5. Si(E, k•k)estunespacevectorielnormé,l’application(x, y)7→kx− yk estunedistancesurE. D. Détaillerlapreuve  Remarque. Soit(E, k•k)unespacevectorielnorméetnotonsd ladistanceassociée.Mon trerqued estinvariantepartranslation,i.ed(x +z, y +z) = d(x, y)pourtoutx, y, z ∈ E. Exemples.Vérifierquelesdistancesdesexemples2),4)et5)du2.1.1sontdesdistancesqui proviennentd’unenormesurlesespacesvectorielscorrespondants. 2.2. Espacesmétriques 2.2.1. Voisinages. Nous allons voir qu’à une distance sur un ensemble on peut associer des objets géomé- triques particulièrement intéressants. En effet si(E, d) est un espace métrique et x un point de E, la boule B(x, r) est l’ensemble des points de E qui sont proches ou voisins de x dans un certain sens, à savoir que leur distance à x est inférieure à r. Cela nous conduit à poser la définitionsuivante: D2.2.1. Soit(E, d)unespacemétriqueetx unpointdeE.Onditqu’unepartieV deE estunvoisinagedexs’ilexisteunréelε> 0telqueB(x,ε)⊂ V .OnnoteV (x)l’ensemble desvoisinagesdex. Remarque.Un voisinage de x contient tous les points assez proches de x, mais également despointsquipeuventêtretrèsloinde x.D’aprèsladéfinition, E toutentierestunvoisinage dex. Propriétésdesvoisinages.Soita ∈ E ,alors: V ) a appartientàtoutélémentdeV (a)1 V ) ToutepartieW deE quicontientunélémentdeV (a)estaussiunélémentdeV (a)2 V ) Touteintersectionfinied’élémentsdeV (a)estencoreunélémentdeV (a).3 V ) SiV ∈V (a),ilexisteunélémentW ∈V (a)telquepourtoutb∈ W,onaitV ∈V (b).4 Onremarqueenoutrequelapropriétésuivanteestvérifiée: Propriétédeséparation : si a et b sont deux points distincts de E, il existe V ∈ V (a) eta V ∈V (b)telsqueV ∩V =∅.b a b Persuadez vous sur un dessin que les propriétés ci-dessus sont vérifiées, puis prouvez les. del’aide? Remarque.Deuxdistancessurunmêmeensemblepeuventdéfinirlesmêmesvoisinagesde x.Onditalorsquelesdeuxdistancessonttopologiquementéquivalentes. P 2.2.2. Pour que deux distances d et d sur un ensemble E soient topologique-1 2 0mentéquivalentesilfautetilsuffitquepourtoutx ∈ E etpourtoutε> 0,ilexisteη,η > 0tels 0queB (x,η)⊂ B (x,ε)etB (x,η )⊂ B (x,ε).d d d d2 1 1 2 0Attention!ηetη dépendentdex etdeε
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