Université Claude Bernard Lyon et École Normale Supérieure de Lyon

Université Claude Bernard – Lyon 1 et École Normale Supérieure de Lyon Année 2007/2008 Unité d'enseignement : algèbre approfondie Examen du 14 janvier 2008 Enseignant responsable : Bertrand RÉMY Durée : 3 heures. Appareils électroniques autorisés : aucun. Documents autorisés : aucun. La clarté et la pertinence des explications sont un élément d'appréciation significatif de la copie. Les exercices de ce sujet d'examen ne sont pas indépendants, aussi vous est-il recommandé de lire tout ce qui précède une question que vous souhaitez traiter. Vous pouvez admettre un point pour en prouver un autre, pourvu que vous fassiez explicitement référence au résultat que vous utilisez. Tous les corps intervenant dans ce sujet sont commutatifs ; certaines structures de Z-modules (i.e. de groupes abéliens) proviennent de la loi multiplicative sur un corps. Exercice A. Soit ? un groupe. Rappelons qu'une structure de ?-module sur un Z-module M est la donnée d'un homomorphisme d'anneaux Z[?] ? EndZ(M). Dans la suite de cet exercice, on suppose que M est un ?-module. On dit qu'une application c : ? ? M , notée ? 7? c? , est un 1-cocycle de ? à valeurs dans M si elle vérifie c??? = c?+?.c?? pour tous ? et ?? dans ?.structure de corps homomorphisme de groupes injectif annulations de cohomologie h1 extension cyclique cohomologie de ? polynôme xp ?x seconde annulation xp ? cocycle de ?