Université d Angers Master 1 - Mathématiques Année 2009 - 2010 ...
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Université d'Angers Master 1 - Mathématiques Année 2009 - 2010 ...

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Extrait

Universit´edAngers Master1-Math´ematiques
Corrig´edudevoir
Anne´e2009-2010 Probabilite´s
+Exercice 1onelppRaurpouesqlee´rnu:x, on notex= max(0, x) etx= +min(x,que0). Remarquons|fn(x)f(x)|= (fn(x)f(x)) +(fn(x)f(x)) +etfn(x)f(x) = (fn(x)f(x))(fn(x)f(xdlortsacur´lese.:Ii)r) Z ZZ +|fn(x)f(x)|(x() =fn(x)f(x))(x) +(fn(x)f(x))(x) X XX Z Z =fn(x)f(x)(x) + 2(fn(x)f(x))(x) X X Z Z + =fn(x)f(x)(x() + 2f(x)fn(x))(x). X X
+ Puisquefn0,µ-p.p., pour toutn, on a 0(f(x)fn(x))≤ |f(x)|,µ-p.p., pout 1 toutnpart, puisque (. D’autrefn) convergeµ-p.p. versfL(X,A, µ)o,udtidne´ duth´eor`emedeconvergencedomine´edeLebesguequelesecondtermedumembrede droitedel´egalite´ci-dessusconvergevers0.Ennpuisque Z Z limfn(x)(x) =f(x)(x), n X X le premier terme converge aussi vers 0.
Exercice 2 :1) Pour toutj= 1,2, . . . , ne´feoelnatg´inocnedictr,raNjvautGNj(s) = θ(s1)(s1) e,s[0,´sqecrnoeclleutneed].Pa1N1+∙ ∙ ∙+NnvautGN1+∙∙∙+Nn(s) =e, s[0,duitnd´eo,entie´balirpbodeoialelisert´acracecirtare´ne´giuqseualofcnitno1].P queN1+∙ ∙ ∙+Nnarep`eamisPondsolenuediortetius. 2) Notons [xuereinntfi´`eerr]elpaapravratlieuorte´leeirudetextout. Pourx >0,
[nx] X k () P(Nnx) =P(N[nx]) =e . k! k=0
Dapr`eslaloidesgrandsnombres(dontonve´riefacilemementleshypoth`eses),(N1+ ∙ ∙ ∙+Nn)/nconverge p.s. et donc en loi versE(N1) =θruoparpD.aque`esln1.,stio toutn, (N1+∙ ∙ ∙+Nn)/naeoiqeulemmˆN/ncoar´ensneuq.PtN/nconverge en loiverslav.a.constantee´galea`θruocudeme`roe´htunntuaiqplapEn.uitd´eds,on de cette convergence en loi que lorsquentend vers +,folatincnoed´rperaititno x7→P(Nnx) deN/nerndioctitrtpa´evegrevnonofalsrecoinx7→1I[θ,+[(x) de la v.a.constante´egale`aθinntcosteeeri`rnluse´relu`od,euntouetat.etedcutetn`optio
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