Université de Nantes Année 2003-2004 Département de Mathématiques ...

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Université de Nantes Année 2003-2004 Département de Mathématiques ...

Sujets

• mathématiques
• mathématique

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Extrait

Universit´ede D´epartement

Nantes deMathe´matiques

Ann´ee2003-2004 Licence de Maths Classiques, module LC4

◦ Liste d’exercices n 4

Chap.6:The´or`emed’inversionlocale.

2 Exercice 1)(a) Soitfl’application deRperafieinem´dmieˆdalunsf(x, y) = (x+y, xy). 2 1 Au voisinage de quels points deRfest-elle unCprommsihcole?ladi-eoff´ 3 (b)R´epondre`alaquestionanalogueconcernantl’applicationgdeRlsnadˆemeui-mnied´efi parg(x, y, z) = (x+y+z, xy+yz+zx, xyz). n n Exercice 2)Soitfu´eairetaoilnnienpalpciR→Rquelle condition. Afest-elle ouverte (i.e. l’imagede tout ouvert est un ouvert)? 2 Exercice 3)(a) Montrer que l’application Ψ : (r, θ)∈R7→(x=rcosθ, y=rsinθ) est 2 22 unC-diff´eoomprihmsdeeU=]0,+∞[×]−π, π[ surR\{(x,0)∈R, x≤0}. 2 22 (b) Soitf:R→R, une fonction de classeCetg:R→Rcnofalarepniefid´onti ∗ g(r, θ) =f(rcosθ, rsinθtruo(tuoifierquep).V´err, θ)∈R×R: 2 2 ∂ g1∂g1∂ g Δf(rcosθ, rsinθ() =r, θ() +r, θ) +(r, θ), 2 22 ∂r r∂r r∂θ 2 2 ∂ f∂ f o`uΔf= +. 2 2 ∂x ∂y 1 Exercice 4)Soitf:R→Rde classeCtelle que : 0 ∃K∈]0,1[,∀t∈R,|f(t)| ≤K <1. 2 2 Onde´finitalorsg:R→Rparg(x, y) = (x+f(y), y+f(x)). 1 (a) Montrer quegest unCocel.alprommsihid-oe´ff (b) Montrer quegest injective. 2 (c) i) Montrer que :∀(x, y)∈R,|x+f(y)−f(0)|+|y+f(x)−f(0)| ≥(1−K)(|x|+|y|). Ende´duirequesig(Atbor)esolsr´naeAobnrets.´e ii) Montrer que l’image deg´rmeefets.e 1 22 (d) Montrer quegest unCromosihpedem-diff´eRsurR.

Exercice 5)SoitSl’espace vectoriel des matrices (n, n´mys)seuqirteeslleer´t,eUl’ensemble desmatricessyme´triquesre´ellesd´efiniespositives. (a) Prouver queUest ouvert dansS. 2 (b) Prouver que pour toutA∈U, il existe un uniqueB∈Utel queA=B. √ On noteB=A. √ (c) Prouver queφ:U→U,φ(A) =Aacrrounperd´sionidnI(.elo:noitac,estdiff´erentiabre l’applicationr´eciproquedeφ).lecalooneth´uerlpleitqluiapreisi’vnmedeoe`r

Chap.7:The´ore`medesfonctionsimplicites.

2 53 2 Exercice 6)folatincidnsre`enOocnofdeRdansRraifinep´edf(x, y) =x+y−3x y−1 2 et on appelle Γ la courbe deRuaeq’´dontif(x, y) = 0.