Vecteurs et équations de droite : cours de 1er S
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Description

1S-cours Vecteurs-équations de droites Table des matières 1 Vecteurs colinéaires 1 1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Critère de colinéarité de deux vecteurs dans un repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Décomposition d’un vecteur 3 3 Equation cartésienne d’une droite 5 3.1 Vecteur directeur d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.2 Equation cartésienne d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1 Vecteurs colinéaires 1.1 Définition Définition : Vecteurs colinéaires ! ! ! !Deux vecteurs u et v sont si et seulement si il existe un réel k tel que v = ku ! ! ou bien u =kv Remarques Si l’un des deux vecteurs est nul alors k = 0 ! Le vecteur nul 0 est donc colinéaire à tout vecteur du plan. ! !! ! Rappel : Géométriquement, si deux vecteurs u = 0 et v = 0 sont colinéaires, cela signifie qu’ils ont la même direction (mais pas nécessairement le même sens (voir figure ci-dessous) 1.2 Critère de colinéarité de deux vecteurs dans un repère Propriété :Colinéarité de deux vecteurs dans un repère(vue en seconde) ! !

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Publié le 23 octobre 2013
Nombre de lectures 667
Langue Français

Exrait

1S-cours

Table des

1

2

3

1

Vecteurs-équations

matières

de

droites

Vecteurs colinéaires
1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Critère de colinéarité de deux vecteurs dans un repère . . . . . . . . . .

Décomposition d’un vecteur

Equation cartésienne d’une droite
3.1 Vecteur directeur d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Equation cartésienne d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1

Vecteurs colinéaires

. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .

Définition
Définition : Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs−→uet−→vsont colinéaires si et seulement si il existe un réelktel que−→v=k−→u
ou bien−→u=k−→v

1
1
1

3

5
5
5
6

Remarques
•Si l’un des deux vecteurs est nul alorsk= 0
Le vecteur nul−→0est donc colinéaire à tout vecteur du plan.
•Rappel : Géométriquement, si deux vecteurs−→u6=−0→et−v6→=−→0sont colinéaires, cela signifie
qu’ils ont la même direction (mais pas nécessairement le même sens (voir figure ci-dessous)

1.2 Critère de colinéarité de deux vecteurs dans un repère

Propriété :Colinéarité de deux vecteurs dans un repère(vue en seconde)
Dans un repère du plan, deux vecteurs−→u(x;y)et−→v(x0;y0)sont colinéaires
si et seulement sixy0−x0y= 0

Exemple 1: alignement de trois points
Dans un repère orthonormé du plan, on donne les pointsA(2;−3),B(1;−1)etC(5;−8)
1.Les points A, B et C sont-ils alignés ?
2.Déterminer alors les coordonnées deDaligné avec A et B tel quexD=xC= 5.

1/7

1S-cours

☛Solution:

Figure :

1.

2.

Vecteurs-équations

de droites

•Calcul des coordonnées deA−→B
(xA−→B=xB−xA= 1−2 =−1
y−A→B=yB−yA=−1−(−3) = 2
~
doncAB(−1; 2)
•Calcul des coordonnées deA−→C
(x−A→C=xC−xA= 5−2 = 3
y−A→C=yC−yA=−8−(−3) =−5
~
doncAC(3;−5)
•Vérification de la colinéarité
xA−→B×y−A→C−y−A→B×x−A→C
=−1×(−5)−2×3
= 5−6 =−1

donc les vecteursA→BetA−→Cne sont pas colinéaires
donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
•Calcul des coordonnées du vecteur−→D
A
(xyAA−−→→DD==yxDD−−xyAA==y5D−−2=(−33)=yD+ 3
~
doncAD(3;yD+ 3)
•Alignement de A, B et D :
A,B e nés
⇐⇒A−t→BtnoseDAt→Dnreélaiicosgila

⇐⇒xA−→B×yA−→D−yA−→B×xA−→D= 0
⇐⇒−1×(yD+ 3)−2×3 = 0
⇐⇒−yD−3−6 = 0
⇐⇒yD=−9
doncD(5;−9)est aligné avec A et B.

Remarque
On peut aussi vérifier l’alignement de A, B et C en cherchant l’équation réduite de(AB)et celle-ci
existe carxA6=xBdonc(AB)n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées.

2/7

1S-cours

2

Vecteurs-équations de

droites

Equation réduite de(AB):y=ax+b
•Calcul du coefficient directeur
yB−yA22
a == =−
xB−xA−1
•Calcul deb
A∈(AB)⇐⇒yA=−2xA+b⇐⇒b=−3 + 2×2 = 1
donc l’équation réduite de(AB)esty=−2x+ 1(penser à contrôler sur le graphique)
•C appartient-il à (AB) ?
−2xC+ 1 =−2×5 + 1 =−96=−8
doncC /∈(AB)
donc A, B et C ne sont pas alignés.
•D∈(AB)
⇐⇒yD=−2xD+ 1
⇐⇒yD=−2×5 + 1 =−9

Décomposition

d’un

vecteur

Propriété : Décomposition d’un vecteur
−→uet−v→sont deux vecteurs non colinéaires (donc non nuls).
Pour tout vecteur−w→, il existe un couple unique(x;y)de réels tels que−→w=x−→u+−→v
y

Démonstration
•Existence

Soient les points O, U, V et M tels que−O→U=−→u,O−→V=−→vet−O−M→=−→w.

La parallèle à (OV) passant par M coupe (OU) enM1et la parallèle à (OU) passant par M coupe
(OV) enM2(voir figure)
On considère le repère(O;U;V)et il existe(x;y)réels tels queM(x;y)dans le repère(O;U;V)
OD,eUmêe−Omt→UeM,e1O,stOo−nV−Mt→1liasoegtMnn2éslernigsseéoadtcinlcstnlooniaéylleete−−→→−−−O→U=x−→u
donc il existe un réelxt quOM1=x

donc il existe un ré queOM2=yOV→=y−v→.
dOoMnc1M−w→M=2O−e−stM→u=n pO−a−Mr→a1llè+loOg−r−Ma→2m=mex−→u+y−v→
•Unicité
Supposons qu’il existe deux couples de réels(x;y)et(x0;y0)tels que

3/7

1S-cours

Vecteurs-équations

de

droites

−→w=x−u→+y−u→→v=(+xy0→−−yu+0)y−→0−→v−→
⇐⇒(x−x0)−v= 0
Six6=x0alorsx−x06= 0

et doncu→=y−y0−→vet−→uet−v→colinéaires, ce qui est contraire à l’hypothèse doncx=x0
x−x0
et donc(y−y0)−→v=−→0⇐⇒y−y0= 0⇐⇒y=y0(car−v6→=−0→)

Exemple 2: Exprimer un vecteur en fonction de deux vecteurs non nuls
Dans un repère orthonormé, on donne−u→(2; 3),−v→(−1; 5)et−→w(−7; 9).
Exprimer−w→en fonction de−u→et−→v.

☛Solution:
−→uet−v→ne sont pas colinéaires donc il existe un unique couple de réelsαetβtels que−→w=α−→u+
(propriété ci-dessus).

−→w=α−u→+β−v→
⇒(9−=37=α2α+−5ββ

(β= 2α+ 7
⇐⇒9 = 3α+ 5(2α+ 7)
⇐⇒(β=2=93αα7+5+2(α+ 7)
⇐⇒(1−β=226=α+ 7
13α
⇐1β
don⇒c(−→w−=2==−23α−u→+ 3−→v

Remarque :
Cela signifie aussi que dans le repère(O;−u→;−→v), le vecteur−→wa pour coordonnées(−2; 3)

4/7

β−v→

1S-cours

3

Equation

Vecteurs-équations de

cartésienne d’une droite

3.1 Vecteur directeur d’une droite
Définition : Vecteur directeur d’une droite
On appelle vecteur directeur d’une droite(d), tout
distincts de la droite(d).

droites

vecteur

non

nul défini

Droite d passant par A de vecteur directeur−u→:

par

deux

points

Remarque
Une droite(d)du plan peut-être définie par deux points distincts ou bien par un point et un vecteur
directeur non nul.

3.2 Equation cartésienne d’une droite

Propriété : Equation cartésienne
Toute droite du plan dans un repère(O;I;J)admet une équation appelée équation cartésienne
de la formeax+by+c= 0.
Le vecteur−→u(−b;a)est un vecteur directeur de cette droite

Remarques
•Sia= 0etb6= 0droite admet une équation cartésienne de la formela by+c= 0.

by+c= 0⇐⇒y=cbet elle est parallèle à l’axe des abscisses.
•De même, sia6= 0etb= 0la droite admet une équation cartésienne de la formeax+c= 0.
ax+c= 0⇐⇒x=−celle est parallèle à l’axe des ordonnées.et
a
Démonstration : équation cartésienne d’une droite
SoientA(xA;yA)etB(xB;yB)
−→
•Calcul des coordonnées deAB
(xyA−−A→→BB==yxBB−−xyAA
•M(x;y→)∈(−AA→BB)l néaires
−−
⇐⇒AM iet co
⇐⇒(x−xA)(yB−yA)−(y−yA)(xB−xA) = 0
⇐⇒(yB−yA)x−xAyB+xAyA−(xB−xA)y+yAxB−xAyA= 0
⇐⇒(yB−yA)x−(xB−xA)y−xAyB+yAxB= 0
En posanta=yB−yA,b=−(xB−xA) =xA−xBetc=−xAyB+yAxB
on a doncM(x;y)∈(AB)si et seulement si il existe trois réelsa,betctels queax+by+c= 0

•etAA→−B→Be(s−tbu;na)ceetruidvuesquipxrBect−euxrAd=e l−abdroiteyteB(−yBAA=)a.

5/7

1S-cours

3.3

Exemples

Vecteurs-équations

de

droites

Exemple 3: Déterminer une équation cartésienne d’une droite
1.Droite définie par deux points

Déterminer une équation cartésienne de la droite(AB)avecA(2; 5)etB(−1; 4)
2.un point et un vecteur directeurDroite définie par
Déterminer une équation cartésienne de la droiteΔpassant parC(−1; 4)et parallèle à la droite
(d)définie par l’équation3x−2y+ 6 = 0

Méthode 1 :Utilisation du critère de colinéarité
•Déterminer les coordonnées d’un vecteur directeur de la droite (iciA−→B)
•Utiliser le critère de colinéarité
M∈(AB)
M
⇐⇐⇒⇒AA,MteetAB→Bcolseriaéningséail
−−→−
⇐⇒xA−−M→×yA−→B−yA−−M→×x−A→B= 0

Méthode 2 : Détermination des coefficientsaetbavec les coordonnées d’un vecteur
directeur−→u(−b;a)
•d’un vecteur directeur de la droite (Déterminer les coordonnées −A→B)
ici
•On a alorsa=y−A→Betb=−y−A→Bet une équation cartésienne de(AB)estax+by+c= 0
•Détermination du réelc
On utilise les coordonnées d’un point de la droite (A par exemple).
A∈(AB)
⇐⇒axA+byA+c= 0(équation d’inconnuec)

☛Solution:

1.

Méthode 1 :
•Calcul des coordonnées d’un vecteur directeur de(AB)
xAB=x
d(oynA−−c→→B−A=→yB(B−B3−−;y−xA1A==)4−−25−=1=−1−3

•Utilisation du critère de colinéarité
M B
⇐(⇒x;A−y→)B∈et(AA−−M→)colinéaires
⇐⇒x−A→ByA−−M→−yA−→BxA−−M→= 0
⇐⇒−3(y−5)−(−1)(x−2) = 0
⇐⇒x−3y+ 13 = 0
Une équation cartésienne de(AB)estx−3y+ 13 = 0ou bien encore−x+ 3y−13 = 0

Méthode 2 :
•−C→alcul des coordonnées d’un vecteur directeur de(AB)
AB(−3;−1)(fait dans la méthode 1)

•On a donca=−1etb= 3donc une équation cartésienne de(AB)est de
la forme−x+ 3y+c= 0

6/7

1S-cours

2.

Vecteurs-équations

de

droites

•Calcul dec
A∈(AB)
⇐⇒−xA+ 3yB+c= 0
⇐⇒−2 + 15 +c= 0
⇐⇒c=−13
Une équation cartésienne de(AB)est−x+ 3y−13 = 0ou bien encore−x−3y+ 13 = 0
Remarques
•définie par un point et un vecteur directeur, il suffit de remplacer le vecteurSi la droite est
A−→Bpar le vecteur directeur donné.
•Si la droite(AB)n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées (xA6=xB), on peut aussi retrouver
une équation cartésienne à partir de l’équation réduite.
I i,(AB) réduitea tiony=x+ 13 1 13
c pour équa3=3x3+
•Il faut déterminer les coordonnées d’un vecteur directeur deΔdonc de(d).
(d)a pour équation3x−2y = 0+ 6donc−u→(2; 3)(a= 3etb=−2) est un vecteur directeur de
(d)donc deΔ.
•Utilisation du critère de colinéarité
M
⇐(⇒x;−→uy)e∈tC−Δ−M→coli
néaires
⇐⇒x−→uyC−−M→−y−→ux−C−M→= 0
⇐⇒2(y−4)−3(x+ 1) = 0
⇐⇒−3x+ 2y−11 = 0
Une équation cartésienne deΔest−3x+ 2y−11 = 0(ou bien3x−2y+ 11 = 0).

Remarque
Avec la méthode 2, on peut aussi écrire directement qu’une équation cartésienne deΔest de la forme
3x−2y+c= 0puisque le vecteur−u→(2; 3)est un vecteur directeur deΔdonca= 3etb=−2.
Il suffit ensuite d’utiliser les coordonnées du point A pour déterminercsoit :
C∈Δ⇐⇒3xC−2yC+c= 0−⇒⇐3−8 +c= 0⇐⇒c= 11

7/7

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