VIEILLISSEMENT ET LOGEMENT A L'HORIZON Les problèmes de logement d'une population apparaissent dans la confrontation de

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CHAPITRE 5 VIEILLISSEMENT ET LOGEMENT A L'HORIZON 2025 Les problèmes de logement d'une population apparaissent dans la confrontation de la demande de logement à l'offre définie par le parc de logements. La demande dépend des variables démographiques qui concernent la population et des variables qui déterminent son mode de vie. La première partie s'attache à préciser les éléments généraux de la problématique du logement dans la région Nord Pas-de-Calais par l'examen des facteurs qui caractérisent les politiques pour satisfaire à la demande dans une approche prospective. La seconde partie illustre cette réflexion non par une analyse exhaustive des territoires mais à partir de situations typiques que l'on peut observer sur des territoires particuliers. La troisième partie dégage des éléments d'hypothèses en matière de logements pour construire des scénarios du vieillissement à l'horizon de 2025. PROBLEMATIQUE : ASPECTS GENERAUX DES BESOINS DE LOGEMENT Les aspects généraux de cette réflexion sont fondés sur les caractéristiques qui, dans le Nord-Pas-de-Calais, concernent d'une part la population et son dynamisme, et d'autre part le parc de logements et ses particularités. 1 Le dynamisme de la population et son influence sur la demande de logement Comme nous l'avons abordé dans Les conséquences territoriales du vieillissement en Nord-Pas-de-Calais, le processus de vieillissement engagé dans la région constitue un premier facteur qui présente différentes étapes.

  • plan local

  • nœud de communication et de transport

  • développement pour le territoire par les demandes

  • pôle de développement et d'influence dans l'eurorégion

  • population âgée

  • captif de l'habitat social

  • jeune

  • logement


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Chapitre 5
Martingales,arbitrageetcompl´etude
1 Lanotiondemartingalejoueaujourdhuiunroˆlecentralennancemathe´matique;ellee´taitde´ja pr´esentedanslath`esedeLouisBachelieren1900maisellenacommence´a`eˆtre´etudi´eesyst´ematiquement parlesmathe´maticiensquevers1940,notammentparP.LevyetJ.L.Doob,etplustardparle´colede probabilit´esdeStrasbourg,notammentP.A.Meyer.Cenestqua`landesanne´es70etaude´butdes anne´es80(dansuns´eriesdarticlesdeM.J.Harrison,D.M.KrepsetS.R.Pliska)quelonacommence´ `acomprendrelesliensentrelesnotions´economiquesounancie`resdabsencedoportunite´darbitrageet decompl´etudedumarche´etlanotionmath´ematiquedemartingale.Cesontcesliensquenouse´tudions icia`traversnotammentdeuxr´esultatsimportantsparfoisappel´eslesdeuxthe´ore`mesfondamentauxde lanancemath´ematique.
5.1 Martingales Intuitivement,unemartingaleestunemarcheale´atoirenayantnitendancehaussi`erenitendance baissie`re,savaleura`chaqueinstant´etant´egalea`lespe´rancedesesvaleursfutures.Onutilisedes marchesale´atoiresayantcettepropri´et´epourmod´eliserleprixdesactifsnancierscarunprixdemarch´e estunnombresurlequeldeuxparties,cellequiache`teetcellequivend,tombentdaccord;sileprix avaitunetendance`alahausse,levendeurnauraitpasaccept´elatransactionetinversementsilavait unetendancea`labaissecestlacheteurquilauraitrefuse´.Doncilestnatureldesupposerquunfair-pricenenaleC.elagnitaremedt´´eriopprirpeenavrpxieuelentqllemnenutraiatacsaes,rlnolte´aal dumondequiser´ealise,ilaugmenteeectivementoubiendiminue.Maislorsquelonprendencompte lensembledes´etatsdumondepossibles,ilestraisonnabledesupposerquesavariationespe´re´eestnulle. Biensˆur,lesve´ritablesvariationsduprixquiinterviendrontdanslare´alite´,etquide´pendentdele´tatdu monde,serontcertainementnonnulles.Dailleurs,cestparcequelesdeuxpartiesnontpaslesmˆemes anticipationssurle´tatdumondequivaser´ealiserquelatransactionalieu. De´nition:Soit (Ω,T, Pnu)apseeistiotilis´enceprobabF:= (Ftfiltration de Ω. On dit) une tT quunemarcheale´atoireM:= ( Mt)t[0.tuneF-martingale(mtg) siet seulement si .T]δest pour tousst,Ms=E(Mt|Fs).(5.1)
Observonsquilre´sultedelad´enitiondelesp´eranceconditionnellequuneF-martingale est toujours unemarcheal´eatoireFtoutuq,eopru`--aider´tpada-tsec,eet, la v.a.MtestFt-mesurable. Lapropositionsuivantedonnetroisautrescaract´erisationsdelaproprie´te´demartingale,souvent utiles,quide´coulent´egalementdespropri´et´esdelesp´eranceconditionnelle.OnutiliselanotationEsX:= E(X|Fs). Proposition 5.1´te´usserpseirpot´onuieqanivssteaveltnseL 1.Mest une martingale. 2. PourtoutsT,Ms=Es(Ms+δt). 3. PourtoutsT,Es(δMs+δt) = 0u,o`δMs+δt:=Ms+δtMs. 4. PourtoutstdansT,Es(MtMs) = 0.
1 Voir le livre de Nicolas Bouleau,rahce´sancneisrMartingalesetm, Editions Odile Jacob, 1998 23