Vieillissements démographiques et populations âgées dans l'espace régional du Nord Pas de Calais

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Antoine Mine

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cours - matière potentielle : la dernière périodecours - matière potentielle : des dernières décennies Partie 1 Vieillissements démographiques et populations âgées dans l'espace régional du Nord-Pas-de-Calais Rapport final – Vieillissement démographique et territoires en Nord-Pas de Calais à l'horizon 2025 1 vieillissement biologique des individus proportions de personnes âgées allongement de la durée de la vie population âgée vieillissement démographique période âge personnes âgées vers les littoraux attractifs…

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7January2acirsbAl2102emuNnsaitoAnactromtD86

Numerical Abstract Domains MPRI 2–6: Abstract Interpretation, application to veriﬁcation and static analysis

.p/1nie´niMe

´ CNRS, Ecole normale superieure ´

AntoineMine´

27 January 2012

tiucodtrInOuonintleAbalrastDoctinmatnAsenio´niM2.pe27Jaunra2y10N2mureci

Bibliography ([exemple])

Floating-pointabstractions

Generalities, notations(reminders)

Someapplicationsof numerical domains

Handlingnon-linear expressions

Presentation of a fewnumerical abstract domains non-relational domains:intervals,congruences linear equalitydomains polyhedradomain(double description) weakly relational domains:zones,octagons

6/8

aJun7210N2ra2yomldcarinsain´ep.3/68

Selected

applications

numerical

domains

amoDAsniiotniMenerumalicstAbctratcelpadeeSofnsmenuicplioat

.p/4nie´

while X>=0 do loop invariant? X:=X-1;

Example X:=[0,10]; Y:=100;

done value ofXandY?

Y:=Y+10

Goal:ﬁndintermittentnumericalinvariants (i.e. at each program point, properties of numerical variables true for all executions)

27January2012emuNacirsbAlcartomtDnsaitoAneMinnvarsesInalycalaemirsnuNmoiaacdlrimenuofnsioaticlppadetceleSrevoytnaicsid

ocsidtnairavnIseysalanalicerumsNveryScelelaodamninfmurecicationsotedappliJ72niotnAsn.pe´niMe

Variable bounds

Example X:=[0,10]; Y:=100; X∈[0,10],Y= 100 while X>=0 do X∈[0,10],Y∈[100,200] X:=X-1; X∈[−1,9],Y∈[100,200] Y:=Y+10 X∈[−1,9],Y∈[110,210] done X=−1,Y∈[110,210]

Goal:ﬁndintermittentnumericalinvariants (i.e. at each program point, properties of numerical variables true for all executions)

684/yr02naauemir21uNbstrcalAomaiactD

.pe´86/4niotniMe

Variable bounds, linear relations and congruences

X:=[0,10]; Y:=100; X∈[0,10],Y= 100 while X>=0 do X∈[0,10],10X+Y∈[100,200]∩10Z X:=X-1; X∈[−1,9],10X+Y∈[90,190]∩10Z Y:=Y+10 X∈[−1,9],10X+Y∈[100,200]∩10Z done X=−1,Y∈[110,210]∩10Z

Hope:ﬁndthe strongestintermittentnumericalinvariants (i.e. at each program point,the strongestproperties of numerical variables true for all executions)

Example

aunaJ7212Nury20calAmericaDtsbrtsnnAmoiaraaitnidcsvoreycarinalaselynvsIacirmodlsniaemuNatioplicnumensofeSdepaeltc

analysalumsNicerodlaniammunfcirecationsotedappliSlece

int delay[10], i; for (i=10; i>0; i=i-1) delay[i-1]= 0; while (1){ int y = delay[i]; delay[i]= input(); i = i+1; if (i>=10) i = 0; /* use y */

}

delay line, in C

Some operations areundeﬁnedor dangerous: arithmetic operations can overﬂow arrays can be accessed out of bounds

/68N2mureciunra2y1027Ja´niM5.petnAsenioDoctinmaAbalrastmeern-tiroricplApesprn:ioatsbafofoourfoecne

ricanumeainsldomlpcidepasnfotaoicalippsAro:pontiaciremuNesylanalSectleeoncunfrofofseabromit-rree

To prove the absence of run-time error: insertveriﬁcation conditionsh∙iensuring error-freedom

delay line, in C int delay[10], i; for (i=10; i>0;hi−1∈[−231,231−1]ii=i-1) hi−1∈[0,9]idelay[i-1]= 0; while (1){ int y =hi∈[0,9]idelay[i]; hi∈[0,9]idelay[i]= input(); hi+ 1∈[−231,231−1]ii = i+1; if (i>=10) i = 0; /* use y */ }

eMintoin5/68´ep.caDtsbrtsnnAmoiairemAlac02yruN217Js2uaandionontipmylhtceraaitnisattheinv)checkth∙(stnairavnirefni

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