Der Hauptsatz der Algebra in effektiver Gestalt: ein reell algebraischer Beweis mittels sturmscher Ketten

Michael Eisermann

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Der Hauptsatz der Algebra in effektiver Gestalt: ein reell-algebraischer Beweis mittels sturmscher Ketten Michael Eisermann Institut Fourier, Universite Grenoble I www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm 15. Januar 2009 Carl Friedrich Gauß (1777–1855) Augustin Louis Cauchy (1789–1857) Charles-Franc¸ois Sturm (1803–1855) Mathematisches Kolloquium, Johannes-Gutenberg-Universitat Mainz

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• komplexe nullstellen komplexer


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• der hauptsatz


• zahlen und sei

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• Cauchy
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Extrait

Der Hauptsatz der Algebra in effektiver Gestalt: ein reellalgebraischer Beweis mittels sturmscher Ketten

Michael Eisermann

Institut Fourier, Université Grenoble I wwwfourier.ujfgrenoble.fr/˜eiserm

15. Januar 2009

Carl Friedrich Gauß (1777–1855) Augustin Louis Cauchy (1789–1857) CharlesFranc¸ ois Sturm (1803–1855) Mathematisches Kolloquium, JohannesGutenbergUniversität Mainz

Ü berblick

1

2

3

4

Der Hauptsatz der Algebra

Sturm 1829/1835: reelle Nullstellen reeller Polynome

Sturm 1836: komplexe Nullstellen komplexer Polynome

Zusammenfassung und Ausblick

Ü berblick

1

2

3

4

Der Hauptsatz der Algebra Der Satz und seine Geschichte Reelle Nullstellen reeller Polynome Komplexe Nullstellen komplexer Polynome

Sturm 1829/1835: reelle Nullstellen reeller Polynome

Sturm 1836: komplexe Nullstellen komplexer Polynome

Zusammenfassung und Ausblick

Der Hauptsatz der Algebra

Satz (Kurzfassung) Jedes komplexe Polynom vom Gradnhat genaunkomplexe Nullstellen.

Der Hauptsatz der Algebra

Satz (Kurzfassung) Jedes komplexe Polynom vom Gradnhat genaunkomplexe Nullstellen.

Satz (Langfassung) 2 SeiR der Körper der reellen Zahlen und sei C=R[i]miti=−1.

Der Hauptsatz der Algebra

Satz (Kurzfassung) Jedes komplexe Polynom vom Gradnhat genaunkomplexe Nullstellen.

Satz (Langfassung) 2 SeiR der Körper der reellen Zahlen und sei C=R[i]miti=−1. Dann gilt: Für jedes Polynom n n−1 F=Z+c 1 Z+∙ ∙ ∙+c n−1 Z+c n mitc 1 , . . . , c n−1 , c n ∈C

Der Hauptsatz der Algebra

Satz (Kurzfassung) Jedes komplexe Polynom vom Gradnhat genaunkomplexe Nullstellen.

Satz (Langfassung) 2 SeiR der Körper der reellen Zahlen und sei C=R[i]miti=−1. Dann gilt: Für jedes Polynom n n−1 F=Z+c 1 Z+∙ ∙ ∙+c n−1 Z+c n mitc 1 , . . . , c n−1 , c n ∈Cexistierenz 1 , z 2 , . . . , z n ∈Cso dass F= (Z−z 1 )(Z−z 2 )∙ ∙ ∙(Z−z n ).

Der Hauptsatz der Algebra

Satz (Kurzfassung) Jedes komplexe Polynom vom Gradnhat genaunkomplexe Nullstellen.

Satz (Langfassung) 2 SeiR der Körper der reellen Zahlen und sei C=R[i]miti=−1. Dann gilt: Für jedes Polynom n n−1 F=Z+c 1 Z+∙ ∙ ∙+c n−1 Z+c n mitc 1 , . . . , c n−1 , c n ∈Cexistierenz 1 , z 2 , . . . , z n ∈Cso dass F= (Z−z 1 )(Z−z 2 )∙ ∙ ∙(Z−z n ).

Nahe liegende Fragen:

Der Hauptsatz der Algebra

Satz (Kurzfassung) Jedes komplexe Polynom vom Gradnhat genaunkomplexe Nullstellen.

Satz (Langfassung) 2 SeiR der Körper der reellen Zahlen und sei C=R[i]miti=−1. Dann gilt: Für jedes Polynom n n−1 F=Z+c 1 Z+∙ ∙ ∙+c n−1 Z+c n mitc 1 , . . . , c n−1 , c n ∈Cexistierenz 1 , z 2 , . . . , z n ∈Cso dass F= (Z−z 1 )(Z−z 2 )∙ ∙ ∙(Z−z n ).

Nahe liegende Fragen: Gibt es einen elementaren, geometrisch ansprechenden Beweis?

Der Hauptsatz der Algebra

Satz (Kurzfassung) Jedes komplexe Polynom vom Gradnhat genaunkomplexe Nullstellen.

Satz (Langfassung) 2 SeiR der Körper der reellen Zahlen und sei C=R[i]miti=−1. Dann gilt: Für jedes Polynom n n−1 F=Z+c 1 Z+∙ ∙ ∙+c n−1 Z+c n mitc 1 , . . . , c n−1 , c n ∈Cexistierenz 1 , z 2 , . . . , z n ∈Cso dass F= (Z−z 1 )(Z−z 2 )∙ ∙ ∙(Z−z n ).

Nahe liegende Fragen: Gibt es einen elementaren, geometrisch ansprechenden Beweis? Kann man die Voraussetzung abschwächen? Welche geordneten Körper?