DEUX COURBES UNE SEULE TANGENTE

Equipe Académique Mathématiques, Bordeaux, 1996-1998

Description

DEUX COURBES, UNE SEULE TANGENTE Objectif Soulever le problème d'une tangente commune à deux courbes, en un même point ou en deux points distincts. Outils Dérivées. Fonction exponentielle. Fonctions trigonométriques. À quelles conditions deux courbes possède-t-elles une tangente commune ? A. Tangente commune à deux courbes en un point commun 1. Préliminaire Soit f et g deux fonctions, ayant pour ensembles de définition respectifs Df et Dg , et soit C f et C g leurs courbes représentatives dans le plan rapporté à un repère . On suppose (O; ; )? ?i j f et g dérivables sur leur ensemble de définition. Démontrer que C f et C g admettent une tangente commune en un point commun si et seulement si il existe un nombre réel a de Df ? Dg qui vérifie le système { ( ) ( )'( ) '( )==f a g af a g a 2. Premier exemple. a. Déterminer le réel p tel que les courbes P et H , représentations respectives des fonctions 2 2: ? +6 et f x x p g x: 6 x , admettent une tangente commune en un point commun. Déterminer alors une équation de la tangente T commune. b. Vérifier en représentant P , H et T sur la calculatrice.

• tangente commune


• π? ??


• ?? ?π


• équation ?


• infinité de points communs


• unique tangente

Informations

• Publié par: pefav
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• Langue: Français

Extrait

D EUX COURBES , UNE SEULE TANGENTE Soulever le problème d’une tangente commune à deux courbes, en un même point Objectif ou en deux points distincts. Dérivées. Fonction exponentielle. Fonctions trigonométriques. Outils À quelles conditions deux courbes possèdetelles une tangente commune ? A. Tangente commune à deux courbes en un point commun 1. Préliminaire Soitfetgdeux fonctions, ayant pour ensembles de définition respectifsDetD, et soit C et C f gf g → → leurs courbes représentatives dans le plan rapporté à un repère (O ;i;j) . On suppose f  et g dérivables sur leur ensemble de définition. Démontrer que C et C admettent une tangente commune en un point commun si et seulement si il f g (a)=g(a) existe un nombre réel a de D ∩ D qui vérifie le système { f g '(a)=g'(a) 2. Premierexemple. a. Déterminerle réel p que les courbes tel P  et H , représentations respectives des fonctions 2 2 f:x6−x+p etg:x6 , admettent une tangente commune en un point commun. Déterminer alors une équation de la tangente T commune. b. Vérifieren représentant P , H et T sur la calculatrice. 3. Deuxièmeexemple a. Soit F et G les courbes représentatives des fonctions f et g définies surRpar 1 2 ⎛ 1 2 ⎞ (x)=x+1 etg(x)=x+1 cosx . Démontrer que F et G ont même tangente en une ⎜ ⎟ 20 20 ⎝ ⎠ infinité de points communs dont on précisera les abscisses, puis tracer F  et G la sur calculatrice pour des valeurs d’abscisses et d’ordonnées comprises entre−20et20. b. Généralisationde l’exemple précédent. Soit f  unefonction dérivable surR, ne s’annulant pas surR, etω unnombre réel non nul quelconque. On considère la fonctiongpar définieg(x)=f(x).cos(ωx). On note F  et G  les courbes représentatives respectives de f et de g . Démontrer que F  et G la même tangente en une infinité de points communs dont on ont précisera les abscisses.

IV  Dérivabilité

Deux courbes, une seule tangente

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